ИСТИНА

Программа DE53D предназначена для вычисления коэффициентов разложения решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и его производной в ряд по смещенным многочленам Чебышёва первого рода со встроенной пошаговой обработкой результатов. Версия на языке Фортран. По результатам работы программы может быть получено аналитическое выражение приближенного решения задачи Коши и его производной в виде частичной суммы смещенного ряда Чебышёва. Предполагается, что правая часть системы имеет непрерывные ограниченные частные производные по независимой переменной и по компонентам решения. Тогда решение системы разлагается на промежутке интегрирования в равномерно сходящийся ряд по смещенным многочленам Чебышёва первого рода. Интервал интегрирования разбивается на элементарные сегменты длины H. Если длина интервала интегрирования не является целым кратным H, то последний элементарный сегмент считается нестандартным и задается специальным образом. На каждом элементарном сегменте решение исходной задачи Коши приближенно представляется в виде частичной суммы смещенного ряда Чебышёва Значения H и число слагаемых в частичной сумме задаются пользователем при обращении к программе. Они выбираются таким образом, чтобы на каждом элементарном сегменте ряд Чебышёва для решения задачи Коши (и его производной) являлся быстросходящимся рядом. В качестве решения в конце интервала интегрирования принимается значение решения в конце последнего элементарного сегмента. Коэффициенты ряда Чебышёва для решения на текущем сегменте вычисляются приближенно итерационным способом исходя из некоторого начального приближения с помощью квадратурной формулы Маркова. Количество итераций, которое предписывается выполнить в этом итерационном процессе, одинаково для всех сегментов и задается при обращении к подпрограмме. После вычисления коэффициентов Чебышёва для решения задачи Коши и его производной на каждом отдельном элементарном сегменте подпрограмма DE53D передает управление специальной подпрограмме обработки результатов для дальнейшей работы с полученными на этом сегменте коэффициентами Чебышёва . Характер и цель этой обработки определяет сам пользователь и выполняет ее с помощью составленной им же подпрограммы, имя которой задается при обращении к подпрограмме DE53D. Например, он может использовать их для каких-то необходимых ему на данном элементарном сегменте вычислений или запомнить вычисленные коэффициенты в удобном для себя виде, или просто их проигнорировать, если эти коэффициенты на данном элементарном сегменте ему не нужны. Таким образом, программа DE53D после вычисления коэффициентов Чебышёва на текущем элементарном сегменте предоставляет возможность приостановить процедуру интегрирования дифференциальных уравнений на время обработки относящихся к этому сегменту результатов, а затем (после завершения такой обработки) продолжить дальнейшее интегрирование, т.е. перейти к вычислению коэффициентов на следующем элементарном сегменте. Начальное приближение коэффициентов ряда Чебышёва для производной на текущем сегменте может быть вычислено двумя способами. В первом способе начальное приближение определяется только с использованием значения решения. Во втором способе начальное приближение определяется через коэффициенты ряда Чебышёва производной на предыдущем элементарном сегменте. Второй способ определения начального приближения в некоторых случаях может привести к более быстрой сходимости итерационного процесса и, тем самым, к меньшему числу выполняемых итераций. Способ выбора начального приближения задается пользователем при обращении к программе. Разбиение промежутка интегрирования на элементарные сегменты (шаги интегрирования) выполняется для того, чтобы на каждом таком сегменте ряды Чебышёва для решения и его производной были быстросходящимися рядами. Другими словами, длина элементарных сегментов, задаваемая параметром H, подбирается таким образом, чтобы убывание коэффициентов этих рядов Чебышёва на элементарном сегменте происходило достаточно быстро, вследствие чего можно было бы считать частичные суммы этих рядов близкими к многочленам наилучшего равномерного приближения на элементарном сегменте для решения и его производной. Порядок этих частичных сумм задается пользователем. Программа накапливает значения коэффициентов частичных сумм рядов Чебышёва на заданных элементарных сегментах, которые могут быть использованы для аналитического представления как самого решения, так и для аналитического представления его производной. Язык программирования: Фортран Аналогов этой программы нет, поскольку она реализует новый численный метод, разработанный авторами программы. Программа распространяется бесплатно. Исходные тексты доступны по запросам пользователей.