ИСТИНА

Рассматриваются линейные дифференциальные уравнения математической физики в частных производных (эллиптические, гиперболические и параболические) с переменными коэффициентами, зависящими от координат и времени. Такие уравнения вместе с входными данными будем называть исходными. Уравнения с переменными коэффициентами описывают процессы в композиционных материалах, у которых механические характеристики меняются либо скачком, либо непрерывно в пограничной области между фазами. Многие задачи из различных разделов линейной и нелинейной механики сводятся к решению линейных уравнений с переменными коэффициентами. Показано, что решение исходной задачи для уравнения с переменными коэффициентами выражается через решение такой же задачи для уравнения с постоянными коэффициентами (сопутствующая задача) с помощью интегральной формулы. В ядро интегральной формулы входит функция Грина и разность коэффициентов исходного и сопутствующего уравнений. С помощью разложения сопутствующего решения в многомерный ряд Тейлора из интегральной формулы получено эквивалентное представление решения исходной задачи в виде ряда по всевозможным производным от решения сопутствующей задачи. Коэффициенты при производных называются структурными функциями. Они являются непрерывными функциями координат и времени, обращающимися в нуль при совпадении исходных и сопутствующих коэффициентов. Для определения структурных функций построена система рекуррентных уравнений. Через структурные функции определяются коэффициенты сопутствующих уравнений. Найдены явные аналитические выражения для структурных функций в случае неоднородного по толщине бесконечного в плане слоя и в случае, когда коэффициенты уравнений зависят только от времени.