ИСТИНА

Выпуклый n-мерный многогранник называется простым, если в каждой его вершине сходится ровно n гиперграней. Комбинаторным многогранником называется класс комбинаторной эквивалентности выпуклых многогранников, где два многогранника комбинаторно эквивалентны, если существует взаимно однозначное соответствие между их множествами граней, сохраняющее отношение включения. Известно, что любой простой трёхмерный многогранник комбинаторно эквивалентен многограннику, который получается из тетраэдра последовательностью срезок вершин, рёбер и пар соседних рёбер. Пусть p_k - число k-угольных двумерных граней простого трёхмерного многогранника. Тогда известно, что 3p_3+2p_4+p_5=12+\sum_{k>=7}(k-6)p_k (*) Теорема (Эберхард, 1891) Для любого набора неотрицательных целых чисел {p_k: k>=3, k не равно 6}, удовлетворяющего условию (*), существует простой многогранник P, такой что p_k=p_k(P) для всех k, кроме 6. Простой многогранник P называется флаговым, если любой набор его попарно пересекающихся гиперграней имеет непустое пересечение. n-мерный симплекс не является флаговым многогранником при n>1. Известно, что для флагового многогранника число его гиперграней m не меньше, чем 2n, причём если m=2n, то P комбинаторно эквивалентен n-мерному кубу. Трёхмерный простой многогранник P, отличный от симплекса, не является флаговым тогда и только тогда, когда у него найдутся три грани F_i,F_j,F_k, которые попарно пересекаются, но имеют пустое пересечение. Такой набор граней называется $3$-поясом. Теорема(Володин, 2012) Трёхмерный простой многогранник является флаговым тогда и только тогда, когда он комбинаторно эквивалентен многограннику, который получается из куба I^3 при помощи последовательности срезок s подряд идущих рёбер k-угольных граней для 0<s<k-2. Фуллереном называется простой трёхмерный многогранник, у которого все грани являются пятиугольниками и шестиугольниками. Из формулы (*) для фуллерена имеем p_5=12. Известно, что существуют фуллерены с любым числом p_6>=0, кроме p_6=1. Основные результаты: Мы доказываем аналог теоремы Эберхарда для флаговых многогранников. Для флагового многогранника всегда p_3=0. Теорема. Для любого набора неотрицательных целых чисел {p_k:k>=3,k не равно 6}, удовлетворяющего условиям (*) и p_3=0 существует простой флаговый многогранник Q, такой что p_k=p_k(Q) для всех k, кроме 6. Для доказательства этого утверждения мы берём многогранник P из теоремы Эберхрарда с p_3=0 и одновременно срезаем гиперплоскостями все его рёбра. Получается флаговый многогранник Q, у которого p_k(P)=p_k(Q), k не равно 6. Мы усиливаем теоремы Володнина следующим образом. Теорема. Трёхмерный простой многогранник является флаговым тогда и только тогда, когда он комбинаторно эквивалентен многограннику, который получается из куба I^3 последовательностью срезок рёбер и срезок пар соседних рёбер у граней с не менее, чем шестью сторонами. Наконец, последний основной результат формулируется следующим образом. Теорема. Любой фуллерен является флаговым многогранником. Доказательство основано на изучении наборов чисел рёбер с одной стороны от 3-пояса из трёх граней, не содержащего других 3-поясов. Этот результат можно сформулировать следующим образом: если p-вектор простого многогранника (p_3,p_4,...) имеет вид (0,0,p_5,p_6,0...)$, то он является флаговым. Он не является очевидным потому, что связная сумма двух кубов даёт многогранник с p-вектором (0,6,0,3,0,...), поэтому отсутствие треугольников и граней с числом сторон больше семи не влечёт флаговость, а связная сумма двух додекаэдров даёт многогранник с p-вектором (0,0,18,0,0,3,0,...), поэтому отсутствие треугольников и четырёхугольников не влечёт флаговость многогранника.