ИСТИНА

В торической топологии каждому простому выпуклому n-мерному многограннику P с m гипергранями F_1,..., F_m канонически сопоставляется (m+n)-мерное момент-угол многообразие Z_P с действием тора (S^1)^m. Это позволяет изучать комбинаторику многогранников при помощи алгебраической топологии момент-угол многообразий и наоборот. Положим R^*(P)=\Lambda[u_1,..., u_m]\otimes Q[v_1,\dots,v_m]/(u_iv_i, v_j^2, v_{i_1}... v_{i_k}: F_{i_1}\cap ...\cap F_{i_k}=\varnothing), mdeg u_i=(-1,2{i}), mdeg v_i=(0,2{i}), du_i=v_i, dv_i=0. Теорема(Бухштабер-Панов). Имеем изоморфизм колец H[R^*(P)]= H^*(Z_P,Q). Этот изоморфизм задаёт мультиградуированную структуру в кольце H^*(Z_P). Положим b^{-i,2j}=\sum_{w-подмножество в [m],|w|=j}b^{-i,2w}. Фуллереном называется простой выпуклый трёхмерный многогранник, у которого все грани являются пятиугольниками и шестиугольниками. k-поясом называется циклическая последовательность двумерных граней, такая что общее пересечение пусто и две грани пересекаются тогда и только тогда, когда они следуют друг за другом. Теорема 1. У фуллерена нет 3-поясов. Теорема 2. У фуллерена нет 4-поясов. Теорема 3. Фуллерен P имеет 12+k пять-поясов: 12 поясов вокруг пятиугольных граней и k поясов из шестиугольников, граничащих с соседними по противоположным сторонам. Если k>0, то P состоит из k последовательных поясов шестиугольников и двух <<додекаэдрических шапок>>. Следствие. Для фуллерена P имеем b^{-1,6}=b^{-2,8}=0, b^{-3,10}=12+k, причём если k>0, то фуллерен имеет вид, описанный в теореме 3. Умножение H^3(Z_P)x H^3(Z_P)->H^6(Z_P) тривиально.