ИСТИНА

Классическая теория изгиба однородного стержня основана на кинематической гипотезе плоских сечений Бернулли-Эйлера и на статической гипотезе о независимом деформировании продольных "волокон" стержня (под волокном в данном случае понимается материальная линия, параллельная оси стержня). Статическая гипотеза для изотропного стержня эквивалентна равенству нулю коэффициента Пуассона. Таким образом, материалы в теории Бернулли-Эйлера различаются только модулем Юнга. Кинематическая гипотеза позволяет представить перемещение любой точки стержня через компоненты вектора перемещений его оси, а статическая гипотеза позволяет записать формулы, по которым внутренние силовые факторы связаны с продольной деформацией и кривизной оси стержня. Эти соотношения называются определяющими соотношениями теории изгиба балки Бернулли-Эйлера. В определяющие соотношения, через посредство продольной и изгибной жесткости, входит модуль Юнга материала стержня. Внутренние силовые факторы в стержне, находящемся в равновесии под действием внешних нагрузок, удовлетворяют уравнениям равновесия Журавского, которые не зависят от материала стержня и одинаковы при любых определяющих соотношениях. Из уравнений равновесия и определяющих соотношений вытекают дифференциальные уравнения для компонент вектора перемещений оси стержня. Отметим, что указанный путь построения инженерной теории, чисто формально, применим для неоднородных упругих стержней, а также и для стержней из неупругих материалов. Иными словами, модуль Юнга может быть нелинейным оператором от компонент вектора перемещений оси стержня, причем материальные функции и константы, входящие в оператор могут меняться от точки к точке. Инженерную теорию изгиба неоднородного стержня, основанную на гипотезе Бернулли-Эйлера, будем называть простейшей теорией. Простейшая теория не учитывает в полной мере характер неоднородности материала стержня, поскольку гипотеза плоских сечений, в данном случае, является очень грубым предположением. В предлагаемой работе основой для построения инженерной теории неоднородного упругого стержня послужила интегральная формула представлении решения задачи теории упругости для неоднородного тела через решение такой же задачи для однородного тела. В однородном случае предлагаемая теория полностью совпадает с классической теорией стержня Бернулли-Эйлера.