ИСТИНА

Классическая цепочка Тоды — это динамическая система, состоящая из конечного набора (пронумерованных) точек на прямой, в которой любые две соседние (по номеру) точки взаимодействуют с потенциалом, пропорциональным экспоненте разности их координат. Эта система — интегрируемая; проще всего получить первые интегралы, если сделать замену координат, при которой фазовое пространство превращается в пространство трехдиагональных симметрических матриц, а уравнение Гамильтона приводится к ласковому виду. Полная симметрическая система Тоды — это обобщение этой («трехдиагональной») системы Тоды на случай, когда фазовым пространством является множество произвольных симметрических матриц (более общо, можно определить подобные системы, связанные с разложением Картана вещественной алгебры Ли; наглядно это можно представлять себе, как ограничение системы с симметрических матриц на подпространство симметрических матриц с дополнительными условиями). Оказывается, что эта система (число степеней свободы в которой довольно велико — пропорционально квадрату размера матриц) является интегрируемой; известные системы интегралов в инволюции (получаемые процедурой «чоппинга» и некоторыми другими) выглядят довольно неожиданными и сложными. Я расскажу о недавних результатах, в которых мы даем описание некоторой системы векторных полей, коммутирующих с векторным полем системы Тоды; наше описание довольно геометрично и основано на структуре представлений данной алгебры Ли. Кроме того, если хватит времени, я расскажу о том, каким образом фазовый портрет этой системы связан с важной комбинаторной структурой на группе Ли — с порядком Брюа на её группе Вейля; таким образом данная система оказывается связанной с дискретной комбинаторной структурой; природу этой связи хотелось бы подробнее исследовать.