ИСТИНА

Многогранником Иванова Q_1 будем считать скошенную шестиугольную призму, в которой основаниями являются два правильных шестиугольника, пара противоположных боковых граней - квадраты, а остальные четыре - конгруэнтные ромбы, каждый из которых составлен из двух правильных треугольников (паркетные грани) Многогранником Иванова $Q_{1}$ будем считать скошенную шестиугольную призму, в которой основаниями являются два правильных шестиугольника, пара противоположных боковых граней -- квадраты, а остальные четыре -- конгруэнтные ромбы, каждый из которых составлен из двух правильных треугольников (паркетные грани) (Рис.1а) Многогранник $Q_{1}$ был обнаружен Б.А. Ивановым \cite{per_bib_1} и относится к классу обобщенных выпуклых правильногранных многогранников с допущением наличия у них паркетных граней и условных рёбер \cite{per_bib_2}. Предполагаемыми аналогами этого многогранника на сфере и в пространстве Лобачевского будем считать выпуклые многогранники, ограниченные соответствующими правильными многоугольниками, соединёнными в той же последовательности, как и в многограннике $Q_{1}$ в евклидовом пространстве. Интерес к многограннику $Q_{1}$, наряду с правильной шестиугольной призмой, возник в связи с геометрическим подходом к описанию трёхмерных сферических многообразий \cite{per_bib_3}, с задачами описания двойников и сростков кристаллов \cite{per_bib_4}, правильными разбиениями трёхмерной сферы \cite{per_bib_5} и четырёхмерными простыми формами \cite{per_bib_6}. Поскольку, при обсуждении работы \cite{per_bib_4} в группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*} $, наряду с областью Дирихле в виде правильной шестиугольной призмы, нам встретился и многогранник, весьма похожий на $Q_{1}$, то естественным образом возникли следующие задачи: 1. Проверить, возможны ли правильные разбиения 3-сферы на множество многогранников $Q_{1}$, на которых транзитивно действует группа $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*} $? Более общая постановка задачи: возможны ли вообще многогранники Иванова $Q_{1}$ на 3-сфере, или в пространстве Лобачевского? 2. (тесно связанная предыдущей): Существует ли в четырёхмерном евклидовом пространстве в группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*} $ простая форма (изоэдр) с трёхмерными гранями -- многогранниками Иванова $Q_{1}$? Дать полное описание всех простых форм в группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*} $. Решать поставленные задачи оказалось проще в обратном порядке. Результаты привели к следующим теоремам: Теорема 1. В группе $C_{3}^{*} \times C_{2}^{*} $ возможны три типа простых форм (изоэдров): 1) Четырёхмерный аналог бесконечной двенадцатигранной призмы с двенадцатью трёхмерными пинакоидами. При положении точек орбиты на винтовой оси $12/5$, все 12 точек лежат на окружности большого круга, деля её на 12 частей (как циферблат часов). Касательные трёхмерные гиперплоскости, пересекаясь, образуют вышеупоупомянутую бесконечную прямую призму. 2) Четырёхмерный изоэдр с двенадцатью трёхмерными гранями -- правильными шестиугольными призмами, образующими два многогранных полнотория, по шесть призм в каждом (при удалении исходной точки орбиты на расстояние $\pi / 4$ от винтовой оси $12/5$). 3) Четырёхмерные изоэдры с двенадцатью трёхмерными гранями -- скошенными шестиугольными призмами (общая простая форма), среди которых существуют и многогранники Иванова $Q_{1}$, появляющиеся при удалении исходной точки орбиты от оси $12/5$ на величину $\theta$, такую, что $cos 2 \theta = 1/ \sqrt{3}$. Теорема 2. На трёхмерной сфере и в пространстве Лобачевского невозможны многогранные поверхности из правильных конечных многоугольников с тем же комбинаторным строением, как в многограннике Иванова $Q_{1}$. Замечание 1. Ввиду последней теоремы нам представлялось, что многогранник $Q_{1}$ вообще невозможен в пространстве Лобачевского \cite{per_bib_7}, однако выяснилось, что в некотором смысле он всё же возможен, если его вершины лежат на абсолюте (Рис.2a). При этом он геометрически конгруэнтен бесконечной правильной шестиугольной призме: если в четырёх правильных четырёхугольных гранях провести условные рёбра, как в многограннике Иванова $Q_{1}$, то каждая такая грань окажется состоящей из двух правильных треугольных граней с общим условным ребром -- точно, как в многограннике $Q_{1}$. Таким образом, многогранник Иванова $Q_{1}$ можно собрать из двух правильных шестиугольников с бесконечноудалёнными вершинами, двух аналогичных четырёхугольников и восьми треугольников, соединив их в том же порядке, как и в евклидовом многограннике Иванова $Q_{1}$. Замечание 2. При исследовании общего случая возможности правильногранной поверхности, состоящей из соответствующих многоугольников, соединённых, в той же последовательности, как и в многограннике Иванова $Q_{1}$, мы не предполагали изначального условия выпуклости конструируемой фигуры. При этом, наряду с поясом из двух четырёхугольников и двух шестиугольников, соединённых, как показано на Рис.1б, нам пришлось рассмотреть ту же последовательность этих фигур, соединённых общими рёбрами, но с самопересечением. Оказалось, что её можно достроить четырьмя правильными треугольниками до самопересекающегося правильногранника (Рис.2.б ), который возможен во всех трёх пространствах: евклидовом, сферическом и в пространстве Лобачевского, причём для любой длины ребра (при которой возможны соответствующие выпуклые правильные многоугольники). Список литературы \bibitem{per_bib_1} Иванов~Б.~А. Многогранники с гранями, сложенными из правильных многоугольников // Украинский геометрический сборник. 1971. Вып.~10. C. 20–34. \bibitem{per_bib_2} Тимофеенко~А.~В. О выпуклых многогранниках с равноугольными и паркетными гранями // Чебышевский сборник. 2011. Том~12,~№~2. C. 118–126. \bibitem{per_bib_3} Постников~М.~М. Трехмерные сферические формы // Труды МИАН СССР. 1991. Том~196. C. 114--146. \bibitem{per_bib_4} Кучериненко~Я.~В., Макаров~В.~С. Геометрия бикристаллов и трёхмерные сферические многообразия //Материалы XII Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», имени академика О.Б. Лупанова (Москва, 20-25 июня 2016 г.) --- М.:МГУ, 2016. С. 360-362. \bibitem{per_bib_5} Долбилин~Н.~П. О правильных разбиениях Дирихле сферы. --- Москва, 1972. 89 с. \bibitem{per_bib_6} Долбилин~Н.~П. О трёхмерных и четырёхмерных простых формах //сб. «Проблемы кристаллологии», посвящённый 80-летию академика Н.В. Белова. --- М.: МГУ, 1971. C. 315-324. \bibitem{per_bib_7} Кучериненко~Я.~В., Макаров~В.~С. Об одном четырёхмерном изоэдре, огранённом многогранниками Иванова $Q_{1}$ //Материалы XIII Международного семинара «Дискретная математика и её приложения», имени академика О.Б. Лупанова (Москва, 17-22 июня 2019 г.) --- М.:МГУ, 2019. (в печати).