ИСТИНА

В работе исследуются фрагменты, ограниченные простыми рёберными циклами на поверхности простых трёхмерных многогранников с не более чем шестиугольными гранями. Обозначим множество таких многогранников через P_6, а множество фрагментов на них через D_6. Известно, что каждый такой фрагмент гомеоморфен кругу, поэтому является разбиением круга на многоугольники. Пусть p_k - число k-угольных граней простого многогранника P. Из формулы Эйлера получатся следующая известная формула 3p_3+2p_4+p_5=12+\sum\limits_{k\geqslant 7}(k-6)p_k. Назовём дефектом многогранника P или фрагмента D величину П=3p_3+2p_4+p_5. Если P имеет не более, чем шестиугольные грани, то П(P)=12. Фуллереном называется простой трёхмерный многогранник, у которого все грани являются пятиугольниками или шестиугольниками. Для любого фуллерена П(P)=p_5(P)=12. k-поясом называется циклическая последовательность двумерных граней без общей вершины, в которой непустое пересечение имеют только последовательные грани. Рассмотрим замощение плоскости R^2 правильными шестиугольниками. Для трёх шестиугольников с общей вершиной возьмём векторы a_1 и a_2, соединяющие центр одного шестиугольника с центрами остальных шестиугольников. Для неотрицательных целых чисел (p,q), p>= q, рассмотрим вектор c=p a_1+q a_2. Факторизация плоскости по вектору c задаёт разбиение цилиндра на шестиугольники. Рассмотрим замкнутую цепочку граней на цилиндре, которая получается, если от заданного шестиугольника пройти p раз вдоль вектора a_1 и q раз вдоль вектора a_2 в произвольном порядке. Граница этой цепочки состоит из двух простых рёберных циклов, которые получаются друг из друга переносом на вектор a_1-a_2. Если поверхность многогранника P в P_6 комбинаторно эквивалентна поверхности, получающейся разрезанием цилиндра вдоль двух таких параллельных циклов и заклеиванием циклов фрагментами из D_6 с П(D)=6, то P называется нанотрубкой типа (p,q). Основной результат можно сформулировать следующим образом. Теорема. Для любого k>=3 существует конечный набор фрагментов Q_k в D_6 с П(Q)=6 для всех Q из Q_k, такой что семейства многогранников S_k из P_6, S_3\subset S_4\subset...\subset S_k, где каждый многогранник в S_k\setminus S_{k-1} состоит из последовательности r>= 0 примыкающих друг к другу k-поясов шестиугольников и двух примыкающих к ним фрагментов из Q_k, обладают следующими свойствами: 1) все многогранники в S_k, кроме конечного числа, являются нанотрубками; 2) многогранник P из P_6 принадлежит S_k тогда и только тогда, когда он содержит фрагмент из Q_k; 3) многогранник P из P_6 принадлежит хотя бы одному семейству S_k тогда и только тогда, когда он содержит фрагмент c дефектом, равным шести. 4) Любой фуллерен P имеет фрагмент, состоящий из шести пятиугольников, и принадлежит хотя бы одному семейству S_k,k >= 5. Таким образом, фрагменты из Q_k являются жёсткими, то есть накладывают жёсткие условия на комбинаторику многогранника P, содержащего один из таких фрагментов. Пример 1. Множество Q_3  состоит из шести фрагментов. Первый фрагмент состоит из трёх сходящихся в одной вершине четырёхугольников. Второй и третий фрагмент получаются из первого последовательной срезкой одной и двух внутренних вершин. Эти фрагменты отвечают нанотрубкам типа (3,0).  Четвёртый фрагмент состоит из сходящихся в одной вершине треугольника, четырёхугольника и пятиугольника. Пятый фрагмент получается из него срезкой внутренней вершины. Шестой фрагмент получается из пятого срезкой вершины, в которой сходятся треугольник, четырёхугольник и пятиугольник. Эти фрагменты отвечают нанотрубкам типа  (2,1). Пример 2. Фрагмент из пятиугольника, окружённого пятью пятиугольниками, является жёстким для фуллеренов: если фуллерен содержит такой фрагмент, то он является нанотрубкой типа (5,0) и получается из двух таких фрагментов вставкой любого числа 5-поясов шестиугольников между ними. Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта победителям конкурса "Молодая математика России". Список литературы 1.ЕроховецН.Ю. k-пояса и простые рёберные циклы простых многогранников с не более, чем шестиугольными гранями. Дальневосточный математический журнал. 2015. Т.15, №2, C.197-213.