ИСТИНА

На множестве всех компактных метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии, существует метрика Громова–Хаусдорфа. Известно, что такая метрика строго внутренняя. В данной работе исследуются свойства сегмента, множества точек, лежащих между двумя данными, в метрическом пространстве Громова–Хаусдорфа. Для пространства всех замкнутых непустых компактов ограниченно компактного метрического пространства с метрикой Хаусдорфа легко показать, что сегмент любых двух точек всегда является компактным. Есть предположение, что в пространстве Громова–Хаусдорфа это свойство уже не выполняется, и даже более сильно, любой сегмент является некомпактным множеством, на что указывают разобранные здесь частные случаи. А именно, мы покажем, что сегмент двух различных конечных метрических пространств и сегмент, в котором одна из данных точек является одноточечным метрическим пространством, а другая — нет, не являются компактами. Для двух различных конечных метрических пространств существует кратчайшая геодезическая, каждый элемент которой имеет конечную мощность. Зафиксируем один из таких элементов 𝑇, а в нем зафиксируем одну произвольную точку 𝑡. Построим новое метрическое пространство, заменив точку 𝑡 в 𝑇 на симплекс произвольной размерности, с достаточно маленьким расстоянием между своими ребрами. В новом метрическом пространстве расстояние между нетронутыми точками 𝑇 сохраним, а расстояние между ними и точками симплекса сделаем равным соответствующему расстоянию в 𝑇 между ними и 𝑡. В новом пространстве сохраняются все аксиомы метрики и доказывается, что оно так же как и 𝑇 лежит в сегменте. С использованием некомпактности шара в пространстве Громова–Хаусдорфа доказывается, что и сегмент не является компактом. Обоснование некомпактности сегмента одноточечного симплекса и компактного бесконечного метрического пространства аналогично основывается на поиске в сегменте симплексов с неограниченной размерности.