ИСТИНА

В монографии [1] сообщается, о начале вывода фёдоровских групп для неевклидовых пространств. Хотя имелись ввиду фёдоровские группы в пространстве Лобачевского (Л3), в равной мере можно рассматривать и группы на сфере S3. Последние (в двумерном случае  в S2), например, группу куба, можно легко представить, спроецировав грани куба и элементы его симметрии на вписанную сферу. Оси симметрии станут точками поворотов, плоскости  сферическими прямыми (окружностями большого круга), зеркальные оси (в кубе это = 6)  линиями скользящего отражения, которые можно обозначить пунктирными линиями, по аналогии с тем, как это принято для 17 фёдоровских групп в E2. Аналогично можно представить четырёхмерные точечные группы c помощью проекции на S3. Можно предположить (и это будет верное предположение), что в этом случае появятся дополнительные элементы симметрии  винтовые оси, подобно тому, как они появляются при переходе от 17-ти двумерных к 230-ти трёхмерным пространственным группам. Четырёхмерные точечные группы (они же  фёдоровские группы в S3) оказались полезны при описании взаимных ориентаций индивидов в двойниках и сростках кристаллов [2]. В свою очередь, представляется полезным дать их наглядное описание в виде таблиц и чертежей элементов симметрии, как это сделано в Международных таблицах [3] (см. также [4]). Однако при этом возникает проблема выбора фрагмента трёхмерной сферы, который мог бы служить аналогом элементарной ячейки. Если для евклидова пространства справедлива теорема Шёнфлиса, утверждающая, что всякая пространственная группа содержит подгруппы параллельных переносов конечного индекса [5] (что позволило Фёдорову и Шёнфлису вывести все 230 групп, а также составить их чертежи [6]), то на сфере нет ни параллельных линий, ни параллельных переносов. Вместе с тем существует и другая аналогичная теорема, утверждающая, что для любой фёдоровской группы в S3, Л3 и Е3 существует подгруппа конечного индекса, все операции которой, за исключением тождественного преобразования, не оставляют на месте ни одну точку (для сферы это очевидно). Перечисление таких групп и их фактор-пространств является одной из важных задач в топологии  разделе математики, изначально основанном на фёдоровских группах [7], но впоследствии развившем свою терминологию, задачи и технические приёмы, так, что теперь, когда говорят о геометрии многообразий, то обычно имеют в виду довольно сложный алгебраический аппарат [7, 8]. М.М. Постников решил вернуться к истокам задачи и дать описание трёхмерных сферических многообразий с помощью геометрического описания многограников Дирихле для групп, не оставляющих неподвижными точки трёхмерной сферы [8]. Всего имеется пять счётных серий таких групп: CnCm, Dn*Cm, T*Cm, O*Cm, и I*Cm (звёздочка означает удвоение группы при переходе к её описанию с помощью кватернионов, см. также [2, 9]). Из них Постникову удалось привести по многограннику Дирихле для каждой группы первых двух серий (линз и призм), а для остальных трёх серий только для первых членов. Подход, применённый для описания ориентаций компонентов двойников и сростков кристаллов, позволил нам понять работу [8], а также предъявить форму ячеек Дирихле для каждой группы остальных трёх серий [2, 9]. В данной работе мы нашли геометрическое доказательство того, что форма упомянутых многогранников Дирихле именно такова, как мы её описали в [2, 9]. Доказательство использует взаимодействие операций симметрии сферических групп и символику элементов симметрии, аналогичную используемой в 230 фёдоровских группах. Кроме того, для каждой группы найдены все операции симметрии, переводящие ячейку в соседнюю по общей грани (и, одновременно, показывающие пары граней многогранника отождествляемые этими операциями). Всего получилось 17 подсерий групп без неподвижных точек и, следовательно, 17 подсерий сферических 3-многообразий. Работу можно рассматривать также как небольшое продвижение в задаче перечисления четырёхмерных простых форм  всё ещё нерешённой проблеме [10]. Литература 1. Шубников А.В., Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. Изд 3-е. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 560 С. § "Границы теории симметрии", стр. 320 http://www.vixri.ru/?p=2280 2. Кучериненко Я.В., Макаров В.С. Теория двойников и сростков кристаллов как раздел четырехмерной кристаллографии. в сб. Трудов XIII Всероссийской научной школы "Математические исследования в естественных науках", Апатиты, 2016, с. 52-63, http://geoksc.apatity.ru/index.php/math/263-matematicheskie-issledovaniya-v-estestvennykh-naukakh-trudy-xiii-vserossijskoj-s-mezhdunarodnym-uchastiem-nauchnoj-shkoly 3. International Tables for Crystallography. Volume A: Space-group symmetry Second online edition (2016) https://it.iucr.org/A/ 4. A Hypertext Book of Crystallographic Space Group. Diagrams and Tables. http://img.chem.ucl.ac.uk/sgp/mainmenu.htm 5. Галиулин Р.В. Кристаллографическая геометрия. М.: КомКнига, 2005. 136с. §2.2.3 "Теорема о параллельных переносах", с. 54 6. Фёдоров Е.С. Правильное деление плоскости и пространства. Л.: Наука, 1979. https://sheba.spb.ru/vuz/prav-delenie-1979.djvu 7. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. М.: Наука, 1982. 480 с. 8. М. М. Постников, Трехмерные сферические формы.Тр. МИАН СССР, 196, Наука, М., 1991, c.114–146, http://mi.mathnet.ru/tm1458 9. Кучериненко Я.В., Макаров В.С. Геометрия бикристаллов и трехмерные сферические многообразия. в сб. Материалы XII Международного семинара "Дискретная математика и ее приложения".М.: МГУ, 2016, с. 360-362, http://new.math.msu.su/department/dm/index.php?id=-l-r. 10. Н.П. Долбилин. О правильных разбиениях Дирихле сферы. Москва.1972. Программа подсекции Кристаллография и кристаллохимия: https://conf.msu.ru/rus/event/schedule/822?date=2020-10-22#6310