ИСТИНА

В докладе для квазилинейных гиперболических систем уравнений, описывающих плазменные колебания специального вида, обсуждается двухэтапный анализ с целью диагностики возникновения градиентной катастрофы решения. На первом этапе предлагается связать пространственные градиенты начальных функций с начальными условиями для специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это приводит к рассмотрению более простой задачи Коши, для которой следует определить условие существования вертикальной асимптоты ("`blow-up"'-свойства). Так как вспомогательное решение определяет локальные градиенты исходной задачи, то выполнение указанного условия будет порождать градиентную катастрофу, т.е потерю непрерывности решения исходной задачи. Этот этап принципиально отличается от других известных подходов к исследованию квазилинейных гиперболических систем, таких как продолженная система, мажорантная система, метод нелинейной емкости, а также с подходами, использующими уравнение Риккати. Первый этап, по сути, связан с исследованием исходной постановки в эйлеровых переменных. Второй этап предназначен для более "`тонкого"' анализа исходной задачи в эквивалентной лагранжевой постановке. Он проводится в предположении, что начальные данные по результатам первого этапа не приводят к быстрой градиентной катастрофе, т.е. возникающей уже на первом периоде колебаний. Суть этапа - построение равномерно пригодных асимптотических решений исходной системы в слабо нелинейном приближении. Здесь для уравнений, описывающих траектории отдельных частиц выводится зависимость частоты колебаний от начальной амплитуды. На этом основании делается вывод о пересечении траекторий частиц, что математически эквивалентно градиентной катастрофе. Рассматривается применение первого этапа для простых постановок: скалярного уравнения Бюргерса и обобщающей его квази-ортогональной системы. Полный двухэтапный анализ применяется для систем уравнений, описывающих одномерные электронные колебания в плазме: плоские колебания в релятивистском и в нерелятивистском случаях, а также аксиально симметричные нерелятивистские цилиндрические колебания.