ИСТИНА

Рассматривается упругий изотропный стержень конечной длины, левый конец которого жестко закреплен, правый конец стержня свободный. На свободном конце стержня приложена сосредоточенная нагрузка, зависящая от времени. Стержень имеет переменную площадь поперечного сечения, в котором, закон распределения по координате неизвестен и подлежит идентификации в процессе решения обратной задачи. Предполагается, что в некоторой окрестности свободного конца стержня перемещения известны. На практике эта информация может поступать с датчиков измерения продольных перемещений, установленных в нескольких сечениях в окрестности свободного конца стержня. Для построения метода решения обратной задачи требуется сначала получить решения прямой задачи, в которой площадь известна и требуется определить нестационарные перемещения для упругого стержня. В основу методики решения прямой задачи положен принцип суперпозиции, при котором перемещения и контактные напряжения связаны посредством интегральных операторов по пространственной переменной и времени. При этом ядрами последних являются функции влияния для упругого стержня. Эти функции представляют собой фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений движения исследуемого стержня. Функции влияния находятся с помощью преобразования Лапласа по времени и разложений в ряды Фурье по системе собственных функций. В обратной задаче требуется, по данным, полученным с датчика, найти переменную площадь поперечного сечения. Решение обратной задачи сводится к решению системы независимых интегральных уравнения Вольтера I-го рода, которая является некорректной по Ж. Адамару вследствие вырожденности ядер интегральных операторов. Для регуляризации обратной задачи применяется метод регуляризации Тихонова, приводящее к системе интегральных уравнений с невырожденными ядрами. Для решения системы разрешающих интегральных уравнений разработан и реализован на ЭВМ численно-аналитический алгоритм, основанный на методе средних прямоугольников в сочетании с методом регуляризации Тихонова. Выполнена проверка полученных результатов. Приведены примеры расчетов.