ИСТИНА

Двойственность Берглунда-Хюбша-Хеннингсона - первая систематическая попытка конструирования зеркально-симметричных моделей Ландау-Гинзбурга. Входными данными для (орбифолдной) модели Ландау--Гинзбурга является пара $(f,G)$, состоящая из квазиоднородного многочлена $f$ от нескольких переменных и конечной группы сохраняющих его линейных преобразований. В конструкции Берглунда-Хюбша-Хеннингсона в качестве $f$ участвуют, так называемые, обратимые многочлены, а в качестве $G$ подгруппы групп их диагональных симметрий. (Квазиоднородный многочлен $f$ называется обратимым, если количество мономов в нем равно количеству $n$ переменных, т.е. $f(\overline{x})=\sum_{i=1}^n a_i\prod_{j=1}^n x_j^{E_{ij}}$, $a_i\ne 0$ и $\det(E_{ij})\ne 0$. Без ограничения общности можно считать что $a_i=1$.) По паре $(f,G)$ описанного вида строится двойственная пара $(\widetilde{f},\widetilde{G})$. (При этом $\widetilde{f}(\overline{x})=\sum_{i=1}^n \prod_{j=1}^n x_j^{E_{ji}}$.) Двойственные пары $(f,G)$ и $(\widetilde{f},\widetilde{G})$ обладают рядом "зеркально симметричных" свойств (например, симметрией ряда орбифолдных инвариантов, простейшим из которых является орбифолдная эйлерова характеристика). Двойственность Берглунда-Хюбша-Хеннингсона была обобщена на пары вида $(f,\widehat{G})$, где $f$ - обратимый многочлен, а $\widehat{G}$ - полупрямое произведение $G\rtimes S$ группы $G$ диагональных симметрий многочлена $f$ и группы $S$ перестановок координат, сохраняющих $f$ и $G$. Конструкция основана на идее А.Такахаши и поэтому называется двойственностью Берглунда-Хюбша-Хеннингсона-Такахаши. Оказывается, что двойственные пары могут претендовать на зеркальную симметричность только при выполнении специальных ограничений на группу $S$ перестановок координат: так называемое условие четности. Для удовлетворяющих условию четности двойственных пар в некоторых случаях была доказана симметричность таких инвариантов, как орбифолдная эйлерова характеристика, орбифолдная дзета-функция монодромии, орбифолдная E-функция. Более того, имеются указания на то, что рассматриваемые инварианты разбиваются на слагаемые (или множители), соответствующие классам сопряженности элементов группы $S$ и обладающие теми же симметриями. Доклад основан на совместных результатах с В.Эбелингом.