ИСТИНА

Зеркальная симметрия (в её исходной форме) состояла в наблюдении о существовании пар многообразий специального вида с замечательными свойствами симметрии некоторых их инвариантов, изначально - чисел Ходжа. Это наблюдение возникло в физике при анализе так называемых моделей Ландау-Гинзбурга. Они связаны с понятием орбифолда и их анализ привел к появлению новых необычных инвариантов, например, орбифолдной эйлеровой характеристики. Первая систематическая попытка конструирования зеркально-симметричных моделей Ландау-Гинзбурга принадлежала П.Берглунду, Т.Хюбшу и М.Хеннингсону. Входными данными для (орбифолдной) модели Ландау-Гинзбурга является пара (f,G), состоящая из квазиоднородного многочлена f от нескольких переменных и конечной группы сохраняющих его линейных преобразований. В конструкции Берглунда-Хюбша-Хеннингсона в качестве f участвуют, так называемые, обратимые многочлены, а в качестве G подгруппы групп их диагональных симметрий (которые, конечно, абелевы). По паре (f,G) описанного вида строится двойственная по Берглунду-Хюбшу-Хеннингсону пара (f~,G~). Двойственные пары (f,G) и (f~,G~) обладают рядом "зеркально симметричных" свойств (например, симметрией ряда орбифолдных инвариантов, простейшим из которых является орбифолдная эйлерова характеристика). Было построено обобщение этой двойственности на группы симметрий, являющиеся полупрямыми произведениями GX|S группы G диагональных симметрий обратимого многочлена f и группы S перестановок координат, сохраняющих f и G. (Конструкция основана на идее А.Такахаши и поэтому называется двойственностью Берглунда-Хюбша-Хеннингсона-Такахаши.) Оказывается, что двойственные по Берглунду-Хюбшу-Хеннингсону-Такахаши пары могут претендовать на зеркальную симметричность только при выполнении специальных ограничений на группу S перестановок координат: так называемое условие четности.