ИСТИНА

Теория комплексного ростка Маслова описывает асимптотические решения широкого класса дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами. Эти решения представляют собой функции, локализованные вблизи множеств положительной коразмерности в пространстве независимых переменных (в простейшем случае это гауссовы пучки, сосредоточенные вблизи точки или кривой) и определяются геометрическими объектами в фазовом пространстве, а именно комплексными векторными расслоениями над изотропными поверхностями, инвариантными относительно фазового потока, соответствующего символу рассматриваемого (псевдо)дифференциального оператора. В то же время в различных приложениях часто встречаются уравнения, коэффициенты которых содержат особенности (в частности, они могут сингулярно зависеть от малого параметра). Для этих задач теория комплексного ростка непосредственно не применима, а именно: на множествах, соответствующих носителям особенностей, необходимо перестраивать указанные геометрические объекты. В настоящей работе мы опишем эту перестройку в простейшей, но важной ситуации: рассмотрим асимптотику решения задачи Коши для волнового уравнения, в котором скорость нерегулярно зависит от малого параметра. В качестве начального условия выбираем гауссов пакет, локализованный вблизи одной точки; тем самым комплексный росток Маслова представляет собой расслоение над отрезком траектории, выходящим из этой точки. Основной результат — явные формулы асимптотики решения задачи Коши; эти формулы содержат правила преобразования комплексного ростка в точках нерегулярности скорости. Если в качестве начального условия выбрать быстро осциллирующий волновой пакет, локализованный вблизи множества полной размерности, то соответствующий геометрический объект является лагранжевой поверхностью. Перестройка этих поверхностей в аналогичной задаче для волнового уравнения была описана ранее; геометрическая конструкция в этом случае наиболее естественная, а именно: поверхности «отражаются и преломляются» по законам геометрической оптики. В нашей ситуации закон преобразования комплексного ростка Маслова оказывается нетривиальным и зависит от внешней геометрии поверхности, на которой сосредоточены нерегулярности.