ИСТИНА

Доклад посвящен задаче, связанной с 16-й проблемой Гильберта об овалах. Мы показываем, что любое расположение овалов на плоскости можно реализовать (с точностью до изотопии) в виде алгебраической кривой степени m=2k, где k — количество овалов. Более того, существует реализующий многочлен P(x,y) специального вида, а именно: P(x,y) = |Q|^2 — |R|^2, где z=x+iy, Q=Q(z) и R=R(z) — взаимно-простые многочлены (степеней k и меньше, соответственно) одной переменной с комплексными коэффициентами. Более того, любая функция Морса F на двумерной сфере, реализующая данное расположение k овалов в виде своего множества нулей и имеющая минимальное число критических точек (равное m=2k) среди всех таких функций Морса, послойно эквивалентна некоторой функции вида |Q|^2 / |R|^2. Тем самым, все линии уровня такой функции Морса F реализуются алгебраическими кривыми степени m=2k.