ИСТИНА

Попытки дать геометрическую интерпертацию групповой классификации одномерного кинетического уравнения $f_t+cf_x+(Ff)_c=0$ обнаружили иное понимание группы Ли как геометрического объекта, чем то, которое было связано с работами Э.~Картана. Более точно, для любой $n$-мерной группы Ли, кроме алгебры, порождающей ее саму, имеется также "двойственная алгебра", которая определяется как алгебра точечных преобразований группы как многообразия, дизъюнктная с порождающей алгеброй. Множество метрик, инвариантных относительно группы, является n(n+1)/2 -мерным пространством, все они являются квадратичными формами от дифференциальных форм первого порядка, инвариантных относительно этой же группы. Матрица коэффициентов этих дифференциальных форм является обратной к матрице коэффициентов операторов двойственной алгебры, так что эти дифференциальные формы являются формами Маурера-Картана для двойственной алгебры. Линии, инвариантные относительно действия группы, оказываются траекториями однопараметрических подгрупп, порожденных операторами двойственной алгебры. Все они являются спиралями (кривыми со всеми постоянными кривизнами). Таким образом, выделенные в результате групповой классификации семейства кинетических уравнений отличаются тем, что для них траектории частиц оказываются спиралями в пространстве переменных (t,x,c).