ИСТИНА

Рассмотрена конструкция, состоящая из нескольких тонких прямолинейных теплопроводящих стержней, соединенных друг с другом последовательно с помощью термоэлектрических преобразователей. На двух свободных концах задана полная термоизоляция. Учитывается теплообмен с внешней средой и собственная теплопроводность ТЭП. Ставится задача наилучшего нагрева/охлаждения точек одного из стержней до заданного состояния за предлагаемое время. Остальные стержни используются как пассивные теплоприемники. Известны начальная температура распределенной системы и температура окружающей среды. В качестве неизвестных переменных ищутся функции температуры, теплового потока через поперечное сечение, а также плотности теплового потока через боковую поверхность. Компоненты вектора управления — это наведенные подаваемым электрическим током тепловые потоки, которые проходят через ТЭП. Обобщение начально-краевой задачи термодинамики заключается в том, что для заданной функции управления, искомые переменные должны минимизировать функционал, который представляет собой интегральную невязку локальных уравнений состояния (закона Фурье и линейного соотношения для теплообмена с окружающей средой). Используя первый закон термодинамики, функцию теплового потока в поперечном сечении в явном виде можно выразить через температуру и линейную плотность потока через боковую поверхность стержней. Для численного решения прямой задачи динамики пространственно-временная область определения неизвестных функций разбивается на прямоугольные подобласти (элементы). На каждом элементе этой сетки неизвестные температура и интенсивность теплообмена со средой представляются в виде прямого произведения двух одномерных многочленов Бернштейна заданной степени от координаты либо времени, либо пространства. Управление аппроксимируется кусочно-полиномиальной функцией времени, которая определяется конечным набором параметров. Удовлетворяя с помощью части неизвестных коэффициентов начальные, краевые и межэлементные ограничения, оставшиеся свободными величины собираются в вектор проектных параметров определенной размерности. Подставим, с учетом интегрального выражения для теплового потока, полученные допустимые аппроксимации и фиксированное конечномерное управление в функционал состояния, а потом минимизируем получившуюся квадратичную функцию, решая соответствующую линейную систему. В результате выбранные аппроксимации выражаются через начальную температуру системы, предписанную терминальную температуру для регулируемого стержня и вектор параметров управления. Для регуляризации задачи управления к функционалу цены с некоторым весовым коэффициентом добавляется интеграл состояния. Оптимальное значение нового функционала не изменится на точном решении, т.к. в этом случае функционал состояния должен равняться нулю. В соответствии с алгоритмом решения начально-краевой задачи и с учетом всех ограничений, подставив в измененный функционал цены допустимые аппроксимации, получим задачу безусловной минимизации квадратичной функции от параметров управления. Для заданного весового коэффициента оптимальные значения этих параметров – это решение линейной системы. По нему восстанавливаются оптимальные функции состояния и управления. Для достоверного моделирования тепловых процессов весовой коэффициент регуляризации выбирается так, чтобы интегральная точность решения была много выше точности приведения в предписанное состояние.