ИСТИНА

Рассмотрим дискретную динамическую систему $x_{n+1}=f(x_n)$ порожденную гомеоморфизмом $f$ компактного многообразия $M$ Усреднением функции $\varphi $ над конечной последовательностью точек $\xi=\{x_k,\ 0 < k \leq n \}$ называется среднее арифметическое: $ \lambda (\xi)=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \varphi (x_k). $ Если $|f(x_n)-x_{n+1}|<\epsilon$, то $\xi$ является $\epsilon$-траекторией или псевдотраекторией. Если $\xi$ является периодической псевдотраекторией, то $\lambda (\xi)$ есть среднее значение функции $\varphi$ на периоде. Спектром усреднения функции $\varphi$ над псевдотраекториями называется множество чисел $ \Sigma=\{\lambda \in R:\ \textit{существуют последовательность периодических}\ \varepsilon_n-\textit{траекторией}\ \{\xi_{n}\},\ \varepsilon_n \rightarrow 0,\ \textit{что}\ \lambda=\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda (\xi_{n})\}. $ Если $f$ является диффеоморфизмом, то дифференциал $Df(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)$ порождает дискретную динамическую систему вида \begin{equation} \label{linex} x_{n+1}=f(x_n),\ e_{n+1}=\frac{Df(x_n)e_n}{|Df(x_n)e_n|} \end{equation} на проективном расслоении $P$. Спектр Морса это спектр усреднения функции $\varphi (x,e)=\ln |Df(x)e|$ над псевдотраекториями системы. {\bf Утверждение.} Если спектр Морса не содержит нуля, то система является гиперболической на цепно-рекуррентном множестве.