ИСТИНА

Установлен ряд точных необходимых и достаточных условий $\Lip^m$- и $C^m$-непрерывности операторов гармонического отражения функций относительно границ простых областей Каратеодори в $\mathbb R^2$. Приведем упрощенную формулировку основного результата. Для произвольной вещественной функции $f$, гармонической в жордановой области $D\subset\mathbb R^2$ и непрерывной в ее замыкании $\overline{D}$, пусть $R(f)$ --- решение задачи Дирихле в области $\Omega = \mathbb R^2 \setminus \overline{D}$ с граничной функцией $f|_{\partial\Omega}$, где ${\partial\Omega}$ -- граница области $\Omega$. Функцию $R(f)$ назовем гармоническим отражением функции $f$ относительно границы $\partial D = \partial\Omega$ области $D$, а оператор $R\colon f\to R(f)$ --- оператором гармонического отражения. Пусть теперь $D$ --- это область с кусочно гладкой границей, и пусть $\pi\alpha\in(0,\pi]$ --- величина минимального внутреннего угла области $D$ (т.е. $\pi\alpha$ --- минимум величин всех внутренних углов $V_a$, $a\in\partial D$, образованных двумя разными лучами с вершиной $a$, касательными к $\partial D$). Положим $m_{\alpha}=1/(2-\alpha)$. Тогда при всех $(m,m')$ с условиями $0<m'\leqslant m<m_{\alpha}$ или $0<m'<m_{\alpha}\leqslant m\leqslant1$ оператор $R$ является $(m,m')$-непрерывным, и это не так при $m_{\alpha}<m'\leqslant m\leqslant1$. Условие $(m,m')$-непрерывности означает, что для любой функции $f\in\Lip^m(\overline{D})$, гармонической в $D$, выполнено $R(f)\in\Lip^{m'}(\overline\Omega)$. Более того, $\Lip^{m'}(\overline\Omega)$-норма функции $R(f)$ должна оценивается (с точностью до мультипликативной постоянной) через $\Lip^m(\overline{D})$-норму функции $f$.