|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Разветвленные накрытия многообразий и действия конечных группучебный курс
- Автор: Гугнин Д.В.
- Год создания: 2019
- Организация: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Описание: Разветвленные накрытия многообразий размерности большей 2 и действия конечных групп --- это классическая отрасль алгебраической топологии, которая недавно обогатилась новыми алгебраическими методами. В центре внимания этой науки в 60-70е годы была классификация множества неподвижных точек действия конечной группы на заданном многообразии. В последние 10 лет возник новый подход к двум другим постановкам в этой области математики. Первая постановка --- это нахождение наиболее сильных нижних оценок на степень возможного разветвленного накрытия между двумя заданными многообразиями. Здесь возник метод gt_n-формулы (Гугнин, 2018), связанной с групповым трансфером и техникой n-гомоморфизмов Фробениуса (Бухштабер, Рис, 1996, Гугнин, 2011). Этот метод на данный момент является самым сильным в этой задаче. Вторая постановка --- нахождение явных конструкций разветвленных накрытий разного рода серий многообразий над сферами. Дубль-конструкция (Гугнин, 2019) позволила построить явное 2^{k-1}-листное разветвленное накрытие произведения k штук сфер произвольной размерности над сферой. До этого в размерности 5 и выше существовала только неэффективная конструкция Александера (1920), годящаяся для любого PL многообразия. Также в конце спецкурса планируется затронуть тему симметрических степеней римановых поверхностей и схем Гильберта точек на С^2. Данный полугодовой спецкурс рассчитан на студентов старших курсов и аспирантов, интересующихся алгебраической топологией и топологией многообразий, а также их приложениями к алгебраической геометрии. Программа курса 1. Общая теория G-пространств, где G --- конечная группа 2. Симплициальные комплексы (конечные и счетные), барицентрическое подразбиение и его итерации 3. Симплициальные когомологии и усреднение по действию конечной группы (групповой трансфер) 4. Степень отображения и доминирование ориентируемых многообразий, связь с фундаментальной группой 5. PL многообразия и кусочно-линейные (конечнолистные) разветвленные накрытия многообразий. Коразмерность множества ветвления 6. Несовпадение (даже с точностью до гомотопии) понятия доминирования и понятия разветвленного накрытия 7. Конструкция Александера (1920) разветвленного накрытия произвольного ориентируемого PL многообразия над сферой 8. Существование 2-листного разветвленного накрытия над сферой в размерности 2 (гиперэллиптические поверхности) 9. Теорема Хирша-Хилдена-Монтезиноса (1974) о существовании 3-листного разветвленного накрытия над сферой в размерности 3 10. Рациональная когомологическая длина пространства и оценка Берстейна-Эдмондса (1978) 11. gt_n-формула (Гугнин, 2018) как самый сильный на сегодняшний день метод получения нижних оценок на степень разветвленных накрытий многообразий 12. Вывод оценки Берстейна-Эдмондса из gt_n-формулы 13. n-гомоморфизмы Фробениуса коммутативных неградуированных алгебр (Бухштабер, Рис, 1996). n-гомоморфизмы Фробениуса градуировано коммутативных алгебр (2011). Доказательство gt_n-формулы 14. Дубль-конструкция (Гугнин, 2019). Конструкция действия Z_2^{k-1} на произведении k штук сфер произвольных размерностей с факторпространством гомеоморфным сфере 15. Симметрические степени римановых поверхностей. Симметрические степени С^2. Схемы Гильберта точек как каноническое разрешение особенностей симметрических степеней C^2. Открытые проблемы
- Добавил в систему: Гугнин Дмитрий Владимирович
Преподавание курса
- 16 сентября 2019 - 16 декабря 2019 Гугнин Дмитрий Владимирович
- МГУ имени М.В. Ломоносова, Механико-математический факультет, Отделение математики, Кафедра высшей геометрии и топологии
- обязательная, по выбору (спецкурс), лекции, 30 часов
- Автор: Гугнин Д.В.