Аннотация:В выпускной квалификационной работе Д.\,Д.\,Шмырёва изучаются спектральные свойства оператора $H:=T+\gamma K$, возникающем в модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра. Здесь $T$ есть оператор умножения на независимую переменную в $L_2[-1;1]$:
$$
\forall f\in L_2[-1;1]\quad (Tf)(x)=xf(x).
$$
Параметр $\gamma$ предполагается вещественным.
Хорошо известно, что спектр оператора $T$ чисто непрерывен и представляет собой отрезок $[-1;1]$.
В модели Фридрихса компактный оператор $K$ является интегральным $(Kf)(x)=\int_{-1}^1 k(x,t)f(t)\,dt$. В классической работе Фридрихса показано, что если ядро $k$ принадлежит Гельдеровскому классу и $k(x,-1)=k(x,1)=0$ при всех $x\in [-1;1]$, то существует пороговое значение $\gamma_0$, такое, что при $|\gamma|< \gamma_0$ оператор $H$ подобен оператору $T$ и, стало быть, спектр возмущенного оператора остается непрерывным. Однако при $|\gamma|>\gamma_0$ у оператора $H$ появляется собственное значение.
С точки зрения приложений, важно явное значение $\gamma_0$. Также представляет интерес вопрос о том, какая характеристика оператора $K$ позволяет увеличить параметр $\gamma_0$.
Кроме частных случаев, в литературе нет никаких результатов, определяющих пороговое значение хоть для какого-нибудь класса операторов. Кроме того, не ясно, какое из условий на ядро интегрального оператора (гельдеровость или зануление на концах отрезка) сильнее влияет на сохранение непрерывного спектра.
В выпускной работе Д.\,Д.\,Шмырёва получены следующие результаты:
1) Для класса одномерных возмущений найдена оценка порогового значения $\gamma_0$ в терминах гипергеометрической функции. Причем эта оценка точна и приведен явный вид экстремального ядра.
2) Для одномерного возмущения со степенным характером зануления ядра на концах отрезка найдены оценки поведения порогового значения $\gamma_0$ в зависимости от порядка степени.
3) Для конечномернных возмущений получен критерий появления собственного значения у возмущенного оператора.
4) Для конечномернных возмущений получена нижняя оценка параметра в терминах показателя гельдеровости ядра. Это очень хороший результат. Для одномерного случая показано, что полученная оценка точна.