Аннотация:В дипломной работе В.В. Наумова рассматривается вопрос необходимых и достаточных условий элементарной эквивалентности абелевых над конечными групп.
Группа назвается абелевой над конечной, если ее коммутант конечен. Такие группы – это естественное “усложнение” класса абелевых групп.
Вопросы элементарной эквивалентности различных моделей рассматривались с середины прошлого века. Полная классификация алгебраических структур с точностью до элементарной эквивалентности была получена лишь для некоторых классов: булевых колец (Ю.Н. Ершов), свободных неабелевых групп (О. Харлампович, А. Мясников, А. Селла) и абелевых групп (В. Шмелева). Менее полные, но также достаточно исчерпывающие критерии были получены и для других классов алгебраических систем (например, для конечно порожденных нильпотентных степенных групп).
В данной работе предпринимается попытка получить необходимые и достаточные условия для того, чтобы две абелевы над конечной группы оказались элементарно эквивалентны. В работе доказано, что если две такие группы элементарно эквивалентны, то их коммутанты изоморфны, а факторы по ним элементарно эквивалентны (то есть обладают одинаковой системой инвариантов по теореме Шмелевой). Также доказано, что если группы рассматриваемого типа насыщенны, то соответствующие абелевы группы также насыщенны.