Организация, в которой проходила защита:
Филиал Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова в г. Душанбе
Год защиты:2014
Аннотация:Квалификационная работа студентки Исматуллоевой Д.Н. посвящена изучению вычислительных свойств удароулавливающей схемы TVD (total variation diminishing – уменьшение общей вариации) на примере расчета задачи Коши для уравнения Хопфа и сравнению полученных свойств с аналогичными характеристиками схем Русанова и Годунова. Для чего было построено точное решение задачи Коши с разрывным начальным условием, которое включает в себя особенности двух типов: волна разряжения и волна сжатия. Хотелось бы отметить, что Исматуллоева самостоятельно построила обобщенное решение при значениях времени меньше или равных 2.5, что потребовало от нее изучить технику решения нелинейного уравнения, используя предложенную учебную литературу. Далее были написаны программы, реализующие алгоритмы всех схем.
Первым проведенным тестом, выявляющим вычислительные свойства схем, был расчет разностных решений на различных сетках и их сравнение с точным решением задачи в момент времени t=1 в нормах пространств и . Результаты этого теста полностью соответствуют ожидаемым: показывают устойчивость явных схем при выполнении условия Куранта, сходимость в интегральной норме и отсутствие сходимости в непрерывной норме. Тем самым, можно считать, что алгоритмы были правильно поняты и аккуратно запрограммированы.
Второй тест состоял в выяснении возможности получить оценку для точности разностных решений, основанную на сравнении двух решений, полученных с использованием вложенных сеток. Результаты проведенных расчетов также согласуются с теоретически ожидаемыми: получаемые величины являются оценками снизу для реальных погрешностей.
Третий тест позволил распределить исследуемые схемы в порядке возрастания их вычислительных свойств в зависимости от требуемого процессорного времени, требующегося для получения разностного решения с заданной точностью. В этом тесте расчеты проводились на большом количестве сеток с различными шагами и выбирались те, в которых погрешность при t=1 оказывалась меньше заданной. После чего выбирался тот расчет, который требовал меньше процессорного времени. В результате наилучшей оказалась схема TVD, на втором месте оказалась схема Годунова, для которой время в среднем было меньше чем у схемы Русанова.