|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Разложение Такаги и нормальная факторизация сжатий в представлении вторичного квантованиядипломная работа (Магистр)
- Научный руководитель: Чеботарев А.М.
- Автор: Теретенков А.Е.,
- Тип: Магистр
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Год защиты: 2013
- Аннотация: В данной работе исследовано приведение симметричных матриц к диагональному виду унитарными конгруэнтными преобразованиями посредством разложения Такаги. Сформулирован ряд теорем, который позволяет свести данную задачу к широко известным сингулярному и полярному разложению и извлечению квадратных корней из матриц. А они в свою очередь могут быть сведены к обычной унитарной диагонализации эрмитовых матриц и извлечению квадратного корня из матрицы. На основе полученных формул построены алгоритмы, реализующие разложение Такаги в Wolfram Mathematica и MatLab, в том числе и для кратных сингулярных чисел. Показано, что в компьютерных тестах данные алгоритмы показывают большую скорость, по сравнению с другими, известными в современных статьях. В работе получена аналогичная формула и для разложения Юла антисимметричных матриц. В силу того, что многие физические проблемы приводят к появлению эрмитовых или, по крайней мере, нормальных11 матриц и операторов, разложение Такаги и конгруэнтные преобразования мало известны в физической литературе. Однако, в данной работе показано, что они играют ключевую роль в теории сжатых состояний и квадратичных гамильтонианов в представлении вторичного квантования. Показано, что унитарно конгруэнтные преобразования симметричных форм, обеспечивающих эрмитовость гамильтониана, возникают естественным образом как линейные канонические преобразования, сохраняющие вакуум. С помощью разложения Такаги задача нормальной факторизации идеального оператора сжатия сводится к одномерной, для которой известна формула Киржница-Боголюбова. Также получены условия, когда это может быть сделано и в неидеальном случае. Введено понятие псевдофункции, которое представляет значительный математический интерес, так как является нетривиальным аналогом обычной матричной функции эрмитовой переменной. Данное понятие является естественным с точки зрения теорем о диагонализации, но псевдофункции соответствующие полиномам не совпадают с обычными матричными полиномами. Тем не менее, в простейшем случае точные решения задачи факторизации и соответствующего уравнения Риккати могут быть представлены непосредственно через псевдофункции.
- Добавил в систему: Чеботарев Александр Михаилович