|
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Об обобщении тригонометрических функций, ассоциированных с атомарной меройкурсовая работа (Специалист)
- Научный руководитель: Шейпак И.А.
- Автор: Агафонкин Г.А.
- Тип: Специалист
- Организация, в которой проходила защита: МГУ имени М.В. Ломоносова
- Кафедра: Кафедра теории функций и функционального анализа
- Год защиты: 2021
- Курс: 3
- Аннотация: Курсовая работа Г.\,А.\,Агафонкина посвящена построению функций, являющихся в некотором смысле (с точки зрения спектральной задачи) аналогами обычных тригонометрических функций. Рассматривается спектральная задача \begin{gather} \label{eq:str1} -y''=\lambda P' y,\quad x\in(0;1),\\ \label{eq:strD} y(0)=y(1)=0, \quad (D) \quad \text{или}\\ \label{eq:strN} y'(0)=y'(1)=0, \quad (N). \end{gather} Если $P(x)=x$, то $\mu_P([\alpha,\beta))=\beta-\alpha$ есть обычная мера Лебега, а собственными функциями задачи \eqref{eq:str1} являются $f_n(x)=\sin\pi nx$ для краевых условий Дирихле (D) и $g_n(x)=\cos\pi n x$ для условий Неймана (N) соответственно. При этом положительные собственные значения обеих задач совпадают с $z_n^2$, где $z_n$ --- положительные нули функции $\sin z$ (в случае краевых условий Неймана рассматриваются положительные собственные значения). В 2014 г. в работе П.Артца задача \eqref{eq:str1} рассматривалась при $P$ --- сингулярной непрерывной неубывающей функции, $P(1)-P(0)=1$ (в этом случае $dP$ является вероятностной мерой без атомов, сингулярной относительно меры Лебега). В этом случае были построены аналоги тригонометрических функций: а именно такие функции, ассоциированные с мерой $dP$, которые являются собственными функциями задач \eqref{eq:str1}-\eqref{eq:strD}, \eqref{eq:str1}-\eqref{eq:strN}, а также функции, квадраты нулей которых совпадают с собственными значениями. В курсовой работе Г.\,А.\,Агафонкин рассмотрел задачу для кусочно-постоянной неубывающей функции $P$. В этом случае $dP$ порождает чисто атомарную меру (атомов может быть и счетное число).
- Добавил в систему: Шейпак Игорь Анатольевич