Аннотация:В курсовой работе А.\,Д.\,Шмелев рассмотрел модельную задачу с коэффициентом-распределением. Теория дифференциальных операторов с коэффициентами обобщенными функциями активно развивается в последнее десятилетие.
Уравнение струны с точечной массой описывается уравнением
\begin{equation}\label{eq:str1}
-y''=\lambda m\delta(x-x_0) y,\quad x\in(0;1).
\end{equation}
Рассматривались различные условия на класс функций, при которых выражение
$\left(\int_0^1 |y'(x)|^2\,dx\right)^{1/2} $
определяет норму в $W^1_2[0;1]$. В частности рассматривались условия вида
$D_m:=\left\{ y\in W^1_2[0;1]: \quad \int_0^1 x^k y(x)\,dx=0, \;k=1,2,\ldots, m,\; m\in \mathbb{N}\right\}$.
Для каждой из рассматриваемых областей определения в курсовой были решены следующие задачи:
\begin{enumerate}
\item Найдено собственное значение и собственная функция;
\item Найдены наибольшее и наименьшее собственное значение в зависимости от $x_0$.
\item Найдена связь задачи нахождения наименьшего собственного значения с константами вложения в пространствах Соболева с соответствующим ограничениями.