Аннотация:В курсовой Т.\,Г.\,Хан изучаются вопрос о нахождении точных констант в неравенствах вида
\begin{equation}
\label{eq:1}
\sup_{x\in[0;1]}|y^{(k)}(x)|\leqslant C_{n}\left(\int_0^1 |y^{(n)}|^2dx\right)^{1/2}
\end{equation}
в пространстве $W^n_{2,per}[0;1]$ --- функций из пространства Соболева, удовлетворяющих периодическим краевым условиям $y^{(j)}(0)=y^{(j)}(1)$;\quad $j=0,1,\ldots n-1$, а также условию \quad $\int_0^1 y(x),dx=0$.
Последнее условие гарантирует, что выражение $\left(\int_0^1 |y^{(n)}|^2dx\right)^{1/2}$ задает норму в пространстве $W^n_{2,per}[0;1]$, таким образом, задача эквивалентна нахождению нормы оператора вложения
$W^n_{2,per}[0;1]\hookrightarrow W^k_{2,\infty}[0;1]$.
В работе японских математиков H.Yamagishi, Y.Kametaka, A.Nagai, K.Watanabe и K.Takemura "<Riemann zeta function and the best constants of
five series of Sobolev inequalities"> (2009 г.) эти константы были вычислены при $k=0$ на основании свойств функций Грина соответствующих дифференциальных операторов. Т.Г.~Хан предлагалось использовать новый подход, основанный на представлении функционала $f\mapsto f(x)$ в виде скалярного произведение и применении равенства Парсеваля. Этот метод позволяет получать константы вложения намного проще, нежели методами, предложенными японскими математиками.
При вычислении вычислении констант вложения попутно решается задача базисных свойствах системы экспонент $\{e^{2\pi i nx}\}_{n\in\mathbb{Z}}$.
В курсовой решены следующие задачи:
\smallskip
1) Показано, что система экспонент $\{e^{2\pi i mx}\}_{m\in\mathbb{Z}, m\ne 0}$ образует ортогональный базис в пространствах $W^n_{2,per}[0;1]$.
2) Вычислены константы вложения при всех $n\in \mathbb{N}$ и $k=0,1,\ldots,n-1$. Показано, что они выражаются через $\zeta$-функцию Римана.