ИСТИНА

В диссертации предложены: • Метод вычисления гарантированных двусторонних оценок собственных значений оператора Лапласа в выпуклой многоугольной области. • Метод прямого численного исследования ловушечных мод волноведущих систем. • Метод нахождения тех частот из заданного интервала, на которых в данном регулярном волноводе гарантирован гармонический режим колебаний (излучения). • Метод вычисления оценки погрешности приближённого решения, полученного проекционным методом, для уравнения Гельмгольца (в L2- и H1-нормах). • Способ построения для определённого класса ОДУ проекционного метода, позволяющего вычислить значение точного решения в наперёд заданных точках. Подход, предлагаемый в работе, даёт возможность численно установить существование ловушечной моды в волноведущей системе в случаях, когда это непосредственно не следует из известных теоретических результатов. В частности, такой системой может быть волновод с резонатором сложной формы, для собственного значения которого нельзя получить хорошую оценку сверху, вписав в него стандартную область с известным спектром: параллелепипед, шар и т. п. Другой пример — «изломанный» волновод с негладкой границей (поверхностью). Этот подход также позволяет найти частоты, на которых гарантируется работа волновода в режиме распространения гармонических колебаний, то есть не происходит резонанса. Полученные в работе двусторонние оценки собственных значений области (в том числе и задачи «с весом») представляют и самостоятельный интерес, а подпрограмма, написанная для вычисления параметров дискретизации задачи методом конечных элементов в пакете PDE Toolbox, может найти широкое применение для оценки погрешности приближённых решений. Оценки погрешности для уравнения Гельмгольца позволяют охарактеризовать качество полученного приближённого решения, а также то, насколько оно больше удалено от точного, чем ортогональная проекция последнего на пробное пространство. Предложенный проекционный метод, который можно считать вариантом обобщённого метода конечных элементов, позволяет вычислить значение точного решения ОДУ из некоторого класса в любой наперёд заданной точке.