ИСТИНА

Цели научного исследования: Получение новых научных результатов в исследованиях по фундаментальным проблемам современного математического анализа, в их числе: спектральная теория линейных операторов, обратные нелокальные задачи математической физики и естествознания, математический анализ и теория функций, аналитическая теория чисел.

Значительные продвижения в теории восстановления потенциала и идентификации краевых условий по двум и трем спектрам были проведены участниками школы В.А.Садовничим, А.М.Ахтямовым, Я.Т.Султанаевым и их учениками. Здесь особенно следует отметить первые результаты о возможности идентификации краевых условий сложного типа, в частности, нераспадающихся краевых условий. Результаты работ доведены до конкретных приложений в задачах механики. В современной теории приближений одним из наиболее актуальных направлений является изучение свойств орторекурсивных разложений. В. А. Садовничим, Т. П. Лукашенко, В. В. Галатенко получен ряд результатов о свойствах таких разложений. В пространствах тригонометрических многочленов изучен вопрос о существовании ортогональных базисов из сдвигов одного многочлена. Указаны пространства, где такие базисы существуют, а также пространства, где их нет. Исследования о свойствах систем экспонент и рядов Дирихле имеют давнюю историю. Однако результаты по этой теме остаются неизменно актуальными, хотя каждый новый шаг дается здесь с большим трудом. Участником школы А.М. Седлецким введены обобщённые пространства Дирихле в круге и в полуплоскости; найдена связь между этими пространствами. С использованием этого получено окончательное необходимое условие полноты системы экспонент в весовых пространствах на полупрямой с правильно меняющимся весом произвольного порядка из интервала (0,1) (обобщённое условие Саса). Доказана эквивалентность неполноты и минимальности системы экспонент в в весовых пространствах на полупрямой для широкого класса весов. Найдена точная константа в достаточном условии полноты системы экспонент в лебеговых пространствах на полупрямой со степенным весом. Доказан критерий полноты системы экспонент в весовых пространствах на полупрямой с правильно меняющимся весом произвольного порядка из интервала (-1,0). Многие задачи механики удобнее изучать, если для них построена подходящая абстрактная модель. Такими абстрактными моделями часто служат уравнения операторными коэффициентами в гильбертовых пространствах. Эту тему развивали участник школы В.В.Власов в соавторстве с Н.А.Раутиан. Ими были получены новые результаты о корректной разрешимости начально-краевых задач в пространствах Соболева вектор-функций на положительной полуоси для интегродифференциальных, главной частью которых является абстрактное волновое уравнение. Проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами интегродифференциальных уравнений: установлена общая структура спектра, получены асимптотики вещественной и комплексной частей спектра указанных оператор-функций. Изучена зависимость локализации спектра от свойств ядер интегральных операторов, входящих в изучаемые уравнения. Продолжено исследование интегродифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, возникающих в теории вязкоупругости, теплофизике, акустике, кинетической теории газов. Получены результаты о разрешимости начально-краевых задач в пространствах Соболева для интегродифференциальных уравнений, со слагаемыми, соответствующими мгновенному трению Кельвина-Фойгхта, а также результаты о локализации спектра указанных уравнений. Проведен спектральный анализ оператор-функций, являющихся символами интегродифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэффициентами. Указанные уравнения могут быть реализованы как интегродифференциальные уравнения с частными производными по пространственным переменным. В свою очередь, такие уравнения возникают в многочисленных приложениях: в задачах наследственной механики, в задачах вязкоупругости, в задачах теплофизики, в теории усреднения. На основе спектрального анализа получено представление решений упомянутых уравнений в виде рядов по экспонентам, отвечающих точкам спектра оператор-функций – символов этих уравнений. Участником школы К. А. Мирзоевым предложена конструкция, позволяющая одновременно корректно определять и включать операторы, порождённые дифференциальными выражениями с коэффициентами-распределениями, в класс операторов, порождённых симметрическими (формально-самосопряжёнными) квазидифференциальными выражениями с локально интегрируемыми коэффициентами. Благодаря этой конструкции, появилась возможность хорошо развитую спектральную теорию квазидифференциальных операторов применять к изучению операторов, порождённых дифференциальными выражениями с коэффициентами-распределениями конечного порядка. Установлен аналог теоремы С.А. Орлова об индексе дефекта линейных дифференциальных операторов для операторов, порождённых матричными квазидифференциальными выражениями второго порядка. Построены примеры. Установлены взаимосвязи между спектральными характеристиками дифференциальных операторов, порождённых некоторыми дифференциальными выражениями 2n-го порядка с коэффициентами-распределениями, и соответствующих им разностных операторов. Исследован вопрос об асимптотическом поведении собственных значений и получении формул регуляризованного следа для оператора Штурма-Лиуивлля с потенциалом-$\delta$-функцией (и суммой -$\delta$-функций) в гильбертовом пространстве $L_2[a,b]$. Начато изучение бесконечных якобиевых матриц с матричными элементами и операторов, порожденных ими. Садовничей И.В. и Савчуком А.М. были исследованы асимптотические формулы для собственных значений и собственных функций системы Дирака и свойства базисности для операторов Дирака с суммируемым потенциалом. Асимптотическая теория дифференциальных уравнений с параметром развивается на протяжении более ста лет, но, вплоть до последнего времени, имелись результаты только для уравнений, в которых коэффициенты являются либо непрерывными, либо суммируемыми функциями, часто с дополнительными ограничениями. Участники школы положили начало развитию асимптотической теории для уравнений с сингулярными коэффициентами. Савчуком А.М. в соавторстве с А. А. Шкаликовым получены первые результаты по асимптотической теории для уравнений с негладкими коэффициентами. И.А. Шейпаком были продолжены классические исследования М.Г.Крейном о спектральных свойствах струны с сингулярным весом. Шейпак ввел новый класс функций, которые порождают более широкий класс мер, нежели мера Кантора. Для таких весов он установил эффект спектральной периодичности собственных значений. Выделил класс краевых условия, для которых выполняется спектральная периодичность, и доказал, что периодическая функция, участвующая в главном члене асимптотики собственных значений не является постоянной. Различные аспекты классической дискриптивной теории функций изучал участник школы Т.В.Родионов. Им получены описания вполне нормальной оболочки некоторых семейств действительнозначных функций, получены результаты, которые обобщают классификации Лебега-Хаусдорфа и Банаха для метрических и совершенных топологических пространств. В состав школы входит группа математиков, которая занимается аналитической теорией чисел. Руководит группой профессор В.Н.Чубариков. К числу основных его результатов за последние годы следует отнести оценку полной рациональной арифметической суммы от многочлена, точную по степени его знаменателя, с оценкой константы, зависящей только от степени многочлена. Отметим также его теорему о количестве решений диофантова неоднородного уравнения с неизвестными из лакунарной последовательности натуральных чисел. Ученики В.Н.Чубарикова Г.В.Федоров, А.Бегунц, Д.Горяшев и Д.Копьев занимаются различными аспектами аналитической теории чисел. В частности, в их работах обнаружен эффект деформации верхнего предела функции делителей, в зависимости от порядка роста размерности относительно аргумента функции делителей. Была изучена задача о верхнем и нижнем порядках роста отношений функций делителей от "соседних" биномиальных коэффициентов, то есть чисел сочетаний вида C_n^k и C_n^{k+1}, или C_n^k и C_{n+1}^k. Найдены точные верхние и нижние грани соответствующих отношений. Изучались ряды Фурье вида $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin^n π\theta n}{n^{\alpha}}$ и $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^n π\theta n}{n^{\alpha}}$. Показано, что теоретико-числовые свойства $\theta$ сильно влияют на сходимость рядов при $0 <\alpha\leqslant 1$. Для рациональных $\theta$ вопрос исследован полностью. Для иррациональных $\theta$ показано, что результат зависит от приближаемости $\theta$ рациональными числами, т.е. от меры его иррациональности. Важную роль работе школы играют прикладные исследования. Членами коллектива подготовлена и выпущена монография, в которой представлены результаты исследований, нацеленных на решение принципиально новой научной и практической задачи - создание механической системы, реализующую тактильную составляющую человеческих чувств. Одним из результатов этой работы является разработка тактильного механорецептора и медицинского инструментария с тактильными возможностями. По этой теме членами школы получены патенты. Рассматривалась задача поиска дополнительных параметров, позволяющих прогнозировать риск возникновения рецидива при раке молочной железы. На основе общедоступных микрочиповых наборов данных выявлена статистически достоверная связь между риском возникновения рецидива и экспрессией α-адренорецептора 2A (ADRA2A). Эта связь подтверждена валидацией, осуществляемой на независимом наборе микрочиповых данных. В рамках эндоскопических хирургических вмешательств доступ к органам и тканям затруднен. В то же время информация о механических свойствах тканей важна для принятия решений о тактике и стратегии операции. Новое устройство, разработанное в МГУ имени М.В.Ломоносова, позволяет получать и оцифровывать информацию о механических свойствах тканей в процессе проведения эндоскопических операций. Устройство является чрезвычайно эффективным для эндохирургии. Изучена задача об отборе параметров и построении классификатора для геномной медицинской тест–системы математическими методами машинного обучения без использования специальных биологических и медицинских знаний. Предлагается метод решения данной задачи и обсуждаются результаты апробации этого метода на мирочиповом наборе данных, содержащем информацию о полногеномном транскриптоме образцов эстрогенположительных опухолей молочной железы. Апробация показала, что качество классификации, обеспечиваемое построенной тест–системой и осуществляемой на основе оценок экспрессии 12 генов, не уступает качеству классификации, осуществляемой такими тест–системами, как “OncotypeDX” и “MammaPrint”. Отметим, что в этой работе существенно используются математические методы теории приближения функций, с использованием жадного алгоритма и метода опорных векторов. Применение математических методов в экономике и было предпринято в работах члена школы А.Акаева и В.А.Садовничего. Ими и их коллегами были выполнены многочисленные исследования по динамике экономического развития.