| 1 |
2 января 2015 г.-31 декабря 2015 г. |
Нелокальная стабилизация систем гидродинамического типа и взаимосвязь их фазовых потоков с фазовыми потоками соответствующих параболических систем нормального типа 2015 |
| Результаты этапа: Этот год был посвящен решению основной задачи, а именно, обобщению полученных ранее результатов о нелокальной стабилизации НПУ со случая НПУ, соответствующего уравнению Бюргерса (посредством стартового управления), на случай НПУ, соответствующего трехмерной системе Гельмгольца. Как и раньше, основная трудность состояла в доказательстве некоторой оценки, равномерной по времени $t\in R_+$, для нелинейного функционала от разрешающего оператора системы Стокса, входящего в явную формулу для решения нормального параболического уравнения. Геометрически эта оценка означает существование такого вектора $u_0$, что для любого вектора $y_0$ из объединения подмножества взрывов и подмножества роста фазового пространства существует такое положительное число $a>0$, что вектор $y_0 + au_0$ принадлежит подмножеству устойчивости.
Таким образом, для НПУ, соответствующего трехмерной системе Гельмгольца с периодическими краевыми условиями, для любого открытого подмножества $B$ трехмерного тора построено с помощью простой формулы такое универсальное стартовое управление $u_0$ с носителем в $B$, что для каждого начального условия $y_0$ рассматриваемого НПУ при некотором $a>0$ начальное условие $y_0+au_0$ принадлежит подмножеству устойчивости фазового пространства, и значит соответствующее решение НПУ экспоненциально стремится к нулю при времени $t$, стремящемся к бесконечности.
Другими словами, построенное универсальное стартовое управление стабилизирует решение НПУ. В настоящее время завершается подготовка данных результатов к новой публикации.
Удалось построить граничное управление для двумерной системы Стокса во внешности гладкой области с управлением на границе, которое является касательным к границе, и которое стабилизирует решение к нулю со степенной скоростью. Именно ортогональность граничных данных полю внешних нормалей, как физически реализуемое условие на управление, явилось усилением результатов, полученных на предыдущем этапе. При решении данной задачи получен самостоятельный результат об оценке ядра Био-Савара в классах Соболева. Построены нелокальные устойчивые инвариантные многообразия для уравнения Бюргерса на полуоси в явном виде. |
| 2 |
2 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. |
Нелокальная стабилизация систем гидродинамического типа и взаимосвязь их фазовых потоков с фазовыми потоками соответствующих параболических систем нормального типа 2016 |
| Результаты этапа: 1. При доказательстве ключевой оценки для нелинейного функционала от разрешающего оператора системы Стокса, входящего в явную формулу для решения НПУ, был обнаружен ряд серьезных технических проблем. Еще на этапе 2015г. оценку функционала от решения системы Стокса, зависящего от трех пространственных переменных, удалось свести к оценке нескольких различных функционалов от решения одномерного уравнения теплопроводности. К концу 2015г. полное доказательство оценки было известно лишь для одного из этих функционалов. При доказательстве (в 2016г.) оценок для остальных функционалов возникло ряд непростых технических проблем. Решение этих проблем потребовало определенного времени. Тем не менее, за прошедший год получено полное доказательство оценок для всех функционалов. В итоге результат, указанный выше, в настоящее время полностью готов к печати (см. [6]).
2. Сделан хотя и первый, но очень важный шаг в построении теории стабилизации около нуля решений уравнений Бюргерса, а также и Гельмгольца, посредством управления, импульсного по времени. Предложена конструкция стабилизации, основанная на использовании информации о динамической структуре соответствующего нормального параболического уравнения.
3. Для заданного начального условия и произвольного
$K>0$ построена граничная функция $u(t)$, стабилизирующая решение уравнения Бюргерса на полуоси со скоростью $1/t^K$. Получены поточечные и среднеквадратичные оценки решения. Граничное управление для уравнения Бюргерса выражено в явном виде при помощи подстановки Хопфа-Коула. Отметим важный вычислительный аспект, что данное построение допускает обратную связь с получаемым решением.
4. Для 3D-системы Стокса построено граничное управление в явном виде. Решена задача стабилизации ротора (решения) со степенной скоростью. Граничное условие для ротора выражено через сферические функции. Получена оценка решения в пространстве квадратично суммируемых функций с весом. Данная оценка в дальнейшем позволит получить соответствующую оценку для векторного поля.
5. Задача Стокса-Лейбензона для Хиле-Шоу течения формулируется как задача Коши для нелинейного интегро-дифференциального уравнения относительно функции a и b, связанных с помощью преобразования Гильберта. Функция а выражает эволюцию коэффициента продольной деформации свободной границы, а функция b является эволюцией угла наклона касательной к этому контуру. Эти функции непосредственно отражают изменения геометрических характеристик свободной границы более высокого порядка, чем эволюция точки контура, получаемая с помощью классического Галина-Кочиной уравнение. Именно поэтому удалось выявить 1) причину отсутствия решений в случае стока, если исходный контур не является аналитическим хотя бы в одной точке, 2) доказать теоремы существования и единственности, 3) выявить критическое множество в пространстве контуров. Один из элементов этого множества - окружность, в центре которой расположен источник или сток. Существенным является анализ дискретной квази-контурной модели этой задачи, численный анализ которой подтвердил теоретические результаты, в частности, существование критического подмножества ко-размерности 1 в пространстве квази-контуров.
Б. Рассмотрена обратная задача идентификации параметров систем дифференциальных уравнений по экспериментальным измерениям тех функций, которые соответствуют некоторым компонентам вектор-решения системы. Изучен важный для приложений химической и биохимической кинетики частный случай, когда редуцированные уравнения линейно зависят от комбинаций исходных неизвестных параметров. Проведен анализ и получены численные результаты для двух типовых систем уравнений химической кинетики: модели Лотки–Вольтерры о сосуществовании “жертвы” и “хищника” и уравнения химической кинетики, моделирующие реакции ферментного катализа, включая уравнения Михаэлиса–Ментен. Поиск неизвестных параметров сводится к задаче минимизации квадратичной функции. При этом используются редуцированные дифференциальные уравнения систем, а не их вектор-решения, которые в большинстве случаев неизвестны. Проанализированы случаи как устойчивого, так и неустойчивого поиска неизвестных параметров. |
| 3 |
1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. |
Нелокальная стабилизация систем гидродинамического типа и взаимосвязь их фазовых потоков с фазовыми потоками соответствующих параболических систем нормального типа 2017 |
| Результаты этапа: |
