Математическое моделирование, численные методы в фундаментальных задачах наукиНИР

Mathematical modeling, numerical methods in fundamental problems of science

Соисполнители НИР

МГУ имени М.В.Ломоносова Координатор

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Математическое моделирование, численные методы и вычислительный эксперимент в фундаментальных задачах
Результаты этапа: Проведен детальный анализ нового однопараметрического семейства адаптивных симплектических консервативных численных методов для решения задачи Кеплера. Методы осуществляют симплектическое отображение начального состояния в текущее состояние и, в следствие этого, сохраняют фазовый объем. В отличие от существующих симплектических методов они сохраняют в рамках точной арифметики все присущие задаче первые интегралы. Переменный шаг интегрирования выбирается автоматически исходя из локальных свойств решения задачи. Методы аппроксимируют зависимость фазовых переменных от времени либо со вторым, либо с четвертым порядком в зависимости от значения параметра. Установлены пределы числа расчетных точек на период решения, обеспечивающих определенный порядок точности. Применение квазиакустической схемы для численного решения двухслойных уравнений мелкой воды над ровным и неровным дном в одномерном случае. Реализация квазиодномерного варианта квазиакустической схемы для расчета двухмерных течений в сложных областях в приближении мелкой воды. Получена случайная микроскопическая модель динамики стационарных биологических сообществ. Построен двумерный разрывный метод частиц с новым корректор-этапом перестройки частиц, основанный не на их форме, а на распределении массы между их центрами. Исследованы возможные способы квазиодномерной криволинейной реконструкции для многомерных разностных схемах газовой динамики на неструктурированных сетках, показана их эффективность. Проведены исследования по нахождению оптимального граничного сигнала для доставки вещества в заданную область неоднородной пористой среди с анизотропной диффузией и с учетом эффектов сорбции-десорбции. Исследованы спектральные характеристики пульсовой волны в большом круге кровообращения для различных нарушений кровотока. Осуществлен цикл исследований по применению нейросетей к диагностике патологий кровеносной системы на основе результатов прямого моделирования течения крови в замкнутой сердечно-сосудистой системе. Разработан алгоритм календарного планирования для решения задачи управления производством в частном случае. Подготовлен вычислительный алгоритм и проведено исследование модели сверхпроводниковой микросхемы нейрона. Разработан алгоритм моделирования SFN (сверхпроводник-ферромагнетик-нормальный металл) микророструктур на основе нелинейной модели для тока проводимости и метода конечных элементов для разрывных решений. Изучался метод граничных элементов для неоднородных контрастных структур. Показана двойственность законов сохранения и их роль в эволюционных процессах. Описаны особенности реализации Гамильтоновых систем и показана их роль в различных математических и физических формализмах. Показана связь уравнений теории поля с уравнениями математической физики. Исследованы скрытые инвариантные и дискретные свойства уравнений математической физики, позволяющие описывать дискретные процессы. Исследованы особенности численного моделирования уравнений математической физики, описывающих дискретные процессы.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Математическое моделирование, численные методы и вычислительный эксперимент в фундаментальных задачах
Результаты этапа: Исследованы некоторые параметризации решений задачи Коши для гамильтоновых уравнений с целью создания алгоритмов автоматического выбора шага при решении "жестких" задач для гамильтоновых уравнений. Проведены вычислительные эксперименты по исследованию сложных движений маятника Капицы на основе лагранжевой и гамильтоновой форм уравнений движения. Экспериментально установлены элементы параметрического портрета. Продолжено построение математической формализации (стохастической и детерминированной) иерархических систем и её численной реализации с помощью новых методов частиц. Выполнено применение квазиакустической схемы для расчёта неустойчивых газодинамических течений, а также применение квазиакустической схемы для расчёта газодинамических течений, сопровождающих ветры боры в городе Новороссийске. Построена и верифицирована новая балансно-характеристическая схема интерполяционного типа для одномерных уравнений переноса, Хопфа и мелкой воды. Построен и верифицирован балансно-характеристический метод для решения двумерных задач fluid-structure interaction. Построен и исследован неявный метод КАБАРЕ для гиперболизованного уравнения теплопроводности, доказана устойчивость схемы, проведены тестовые расчеты. Построено и верифицировано на модельных задачах обобщение схемы КАБАРЕ для двумерных уравнений мелкой воды на неструктурированные сетки с треугольными ячейками. Проведена серия многомерных расчетов течений вязкого газа в пространстве между двумя коаксиально вращающимися цилиндрами в изотермическом приближении. На основе численного решения двумерных уравнениях газовой динамики в переменных Эйлера с учетом гравитации проведено моделирование развития турбулентных атмосферных процессов, сопутствующих ветрам бора. Параметры рассматриваемой математической модели характерны для бухты Новороссийска, где при боре наблюдаются порывы ветра ураганной силы, зачастую приводящие к катастрофическим последствиям. Продемонстрирована принципиальная возможность возведения инженерных сооружений, позволяющих значительно понизить интенсивность порывов ветра. Проведены исследования применения методов искусственного интеллекта к результатам математического моделирования гемодинамики человека и показано, что использование простых нейросетевых технологий позволяет выделять участи патологий кровотока. В первом приближении построены детализации моделей кровотока в печени и почке. Проведены исследования спектральных характеристик пульсовой волны в модели большого круга кровообращения. Проведены численные эксперименты функционирования сердечно-сосудистой системы при поступлении пероральной глюкозной нагрузки, которая соответствует тесту толерантности к глюкозе. Данное лабораторное исследование используется для диагностики нарушений усвоения глюкозы, в том числе сахарного диабета и предиабета. Полученные при математическом моделировании результаты качественно согласуются с клиническими данными, имеющимися в современной медицинской литературе. Для дальнейшего развития функционала интерфейсного модуля программного комплекса CVSS существенно модифицирована подсистема хранения данных, что позволяет расширить набор параметров трехмерного графа сосудистой системы. При этом обеспечена совместимость форматов файлов данных существующих и расширенных моделей графов. Разработаны новые вычислительные алгоритмы и программа вычисления индуктивных коэффициентов нормальных и сверхпроводниковых структур. Разработан конечноэлементный алгоритм и его программная реализация модели глобальной электрической цепи атмосферы земли. Разработан численный алгоритм для модели Узаделя с разрывными решениями. Выполнена постановка граничных условий в задаче теплового баланса алюминиевого электролизера. Разработан алгоритм вычисления теплового потока на боковой поверхности электролизной ванны.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Математическое моделирование, численные методы и вычислительный эксперимент в фундаментальных задачах
Результаты этапа: В отчетном периоде продолжены исследования в области применения численных методов и математического моделирования для различных областей естествознания. Продолжено исследование численных методов решения задачи Коши для гамильтоновых уравнений, сохраняющих геометрические свойства точных решений. Проведены предварительные исследования, касающиеся разработки семейства коллокационных методов решения задач Коши для систем уравнений Гамильтона. На основе численного решения двумерных уравнений газовой динамики в переменных Эйлера с учетом гравитации проведено моделирование развития турбулентных атмосферных процессов, сопутствующих ветрам бора в бухте Новороссийска. Продемонстрирована принципиальная возможность возведения инженерных сооружений, позволяющих значительно понизить интенсивность порывов ветра ураганной силы, зачастую приводящих к катастрофическим последствиям. Проведена модернизация существующей математической модели и реализация дополнительных модулей для комплекса программ исследования формирования волн на поверхности жидкости. Выполнены численные эксперименты по изучению влияния вихревых структур на формирование основной (ударной) волны. Опубликованы обоснования методов и подходов, лежащих в основе построения явной консервативной квазимонотонной разностной схемы второго порядка, предложенной А.П.Фаворским. Осуществлено применение модификации схемы А.П. Фаворского, основанной на WENO-реконструкции, к численному решению квазилинейного уравнения переноса. Выполнено применение варианта схемы А.П. Фаворского, использующей метод Рунге-Кутта для повышения точности по временной переменной, к численному решению квазилинейного уравнения переноса. Продолжена разработка и программная реализация адаптивных сеточных методов решения сингулярно возмущенных краевых задач для систем ОДУ 2-го порядка и эллиптических уравнений в областях с полигональной границей. Для h-версии МКЭ решения сильно связанных систем ОДУ предложены два новых типа индикаторов коррекции, а также процедура измельчения сетки, учитывающая распределение индикаторов по области. На тестовых задачах проведена оценка эффективности построенного варианта метода. Для разрабатываемой гибридной адаптивной hp-версии МКЭ построен эффективный алгоритм решения возникающих систем алгебраических уравнений, учитывающий иерархический способ генерации соответствующих матриц. Разработан и программно реализован метод кусочно-линейной интерполяции функции двух переменных, имеющей существенные локальные особенности, который основан на адаптивном измельчении триангуляции двумерной области. Получены результаты по новому способу получения гарантированной оценки погрешности неявного многошагового метода Штермера при решении дифференциальных уравнений второго порядка. Проведено теоретическое исследование, позволяющее обобщить предложенный ранее способ для получения гарантированной оценки погрешности метода Нумерова. Проведены модификации программного комплекса CVSS в части расширения возможностей моделирования переноса различных веществ кровотоком. Реализована возможность проведения серии расчетов, результаты которых могут быть использованы в системах искусственного интеллекта. Разработаны, реализованы и протестированы детализированные математические модели кровотока в системах сосудов почки и печени. Внедрение данных моделей в общую модель кровообращения повысило физиологическую адекватность моделирования большого круга кровообращения человека и позволяет исследовать кровоток при патологиях в упомянутых органах. Разработаны принципы построения синтетических баз данных кровотока виртуальных пациентов на основе математического моделирования системной гемодинамики, рассмотрена вариативность получаемых данных. Исследовано влияние типа и вида краевых условий для задач квазиодномерной гемодинамики на решение, обратимость некоторых видов краевых условий. Выполнено построение численного алгоритма расчета течения крови в объемном сосуде. Получены системы дифференциальных уравнений описывающих динамику жидкости в отдельном сосуде с подвижными стенками в цилиндрических координатах в предположении осевой симметрии в смешанных эйлерово-лагранжевых (СЭЛ) координатах. Построена математическая модель гидродинамики здорового глаза, которая показала значительную степень схожести качественной картины, наблюдаемой медиками в здоровом глазе, с результатами численных экспериментов. Разработан метод решения двухфазной задачи сведения материального баланса на предприятии, в рамках гипотезы о моментальном перемешивании получены дополнительные условия на резервуарах, связывающие входящие и исходящие потоки продукции разных фаз. Разработан алгоритм экстракции индуктивных параметров для сверхпроводниковых схем с замыкающей подложкой. Предложен явный балансно-характеристический метод КАБАРЕ для расчета динамики жидкости со свободной поверхностью в гравитационном поле в слабосжимаемом приближении. Разностная схема протестирована на задачах с различными значениями коэффициента поверхностного натяжения и ускорением свободного падения с разными знаками, в том числе на задаче о развитии неустойчивости Рэлея – Тейлора. Разработан балансно-характеристический численный метод решения гиперболических систем уравнений на треугольных расчетных сетках. Метод верифицирован и проведено его сравнение с методами, разработанными другими авторами, на основных тестах для уравнений мелкой воды над ровным дном. Предложена негидростатическая модель уравнений динамики стратифицированной слабосжимаемой жидкости со свободной поверхностью. Описана явная схема CABARET-NH (CABARET Non-Hydrostatic) и неявная схема CABARETI–NH (CABARET Implicit Non-Hydrostatic) численного решения построенной системы дифференциальных уравнений в смешенных эйлерово-лагранжевых координатах на основе балансно-характеристической схемы класса КАБАРЕ. Проведено тестирование на задачах о колебании свободной поверхности, проведена валидация модели на лабораторном эксперименте трехмерного гравитационного течения стратифицированной жидкости. Выполнено построение стохастических формализаций как в газовой динамике, так и в микроскопических моделях динамики популяций. Дальнейшее развитие получил новый разрывный метод частиц в применении к детерминистическим моделям математической физики.
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Математическое моделирование, численные методы и вычислительный эксперимент в фундаментальных задачах
Результаты этапа: В отчетном периоде проводились исследования в области разработки и применения численных методов, выполнялось математическое моделирование в различных областях науки и технологии. Проведено сравнение MP- и WENO-реконструкций в рамках рёберно-ориентированных схем при расчёте задач гидродинамики на неструктурированных треугольных сетках. Построена и исследована реберно-ориентированная разностная схема EBR-MP5. Разработан метод построения разностных схем для расчета течений вязкого газа в произвольных криволинейных ортогональных координатах. Реализованы дополнительные программные модули для ранее разработанного комплекса программ по изучению уединенных волн. Разработан разностный метод для разрывных решений эллипических уравнений. Получены алгоритмы автоматического выбора шага интегрирования, основанные на параметризации решений задачи Коши для гамильтоновых систем. Для получения двойных решений разработаны методы моделирования уравнений математической физики с помощью двух неэквивалентых систем отчета. Исследована однозначная разрешимость классической задачи Геллерстедта. Получено представления решения через биортагональные ряды. Разрывный метод частиц обновлён вариантом этапа корректора, а также этапом рождения - гибели частиц. Реализован алгоритм решения пространственно однородной задачи релаксации на основе системы стохастических дифференциальных уравнений по скачкообразной мере. Добавлено взаимодействие жидкость - стенки сосуда в модель расчета течения крови в объемном сосуде, проведены верификационные расчеты. Выполнена валидация модели CABARET-INH на задачах расчета течений в морских акваториях. Выполнено воспроизведение полного набора валидационных лотковых экспериментов по модели CABARET-MFSH. Исследована возможность обнаружения патологий кровотока в детализированных математических моделях почки и печени методами машинного обучения на синтетических базах данных. Проведена модификация многоэтапного итерационного процесса, применяемого для численного решения нелинейной системы диф. уравнений, описывающих процесс взаимодействия оптического излучения с полупроводником. Проведено исследование солитонных режимов распространения фемтосекундного лазерного излучения в активных периодических структурах с квадратичной нелинейностью, а также в средах с комбинированной нелинейностью. Предложен метод восстановления спектра широкополосного ТГц сигнала на основе метода нестационарной спектроскопии, использующего измерения в низкочастотном ТГц диапазоне, соответствующем ГГц диапазону частот. Предложен и обоснован метод построения комбинированных моделей корреляционного тензора, позволяющий расширить набор параметров, учитываемых при построении синтетических турбулентных полей. Создан программный комплекс для преобразования форматов неструктурированных тетраэдральных расчетных сеток из Gmsh в TetGen для моделирования газодинамических течений на основе КГД алгоритма в 3D постановках. Проведено моделирование управляющих параметров электролиза алюминия для различных технологических режимов промышленного производства. Выполнен численный анализ математической модели окислительной реакции на поверхности металлического катализатора в проточном реакторе. Предложен алгоритм определения кратности воздухообмена в тоннеле метро для поддержания температуры воздуха в заданных пределах. Проведено математическое моделирование гидродинамики глазной жидкости на ранних стадиях развития глаукомы. Исследованы нелинейные математические модели диффузии в смеси веществ, что необходимо в связи с построением модели электролитической диссоциации, учитывающей диффузионные и миграционные эффекты. Проведено математическое моделирование распространения эпидемий на сетях сложной архитектуры с интеграцией детерминистических и стохастических подходов в единую систему. Создана математическая модель окисления этилена на никелевом катализаторе, описывающая различные колебательные режимы химической системы.
5 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Математическое моделирование, численные методы и вычислительный эксперимент в фундаментальных задачах
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".

Прикрепленные файлы

№ Имя Описание Имя файла Размер Добавлен