ИСТИНА

Целью НИР является: а) теоретическое исследование сеточных аппроксимаций сингулярно возмущенных краевых задач для уравнения конвекции-диффузии, начально-краевых задач гидродинамики, газовой динамики, а также МГД-задач с обобщенными решениями; б) разработка и программная реализация адаптивных вариантов МКЭ для задач математической физики с решениями, имеющими сильные локальные особенности типа пограничных и внутренних слоев, волновых фронтов; в) математическое моделирование состояния возникающей в атмосфере слабо ионизированной низкотемпературной плазмы, учитывающее химико-кинетические процессы; г) численное моделирование процессов формирования и эволюции нелинейных гидравлических волн и вихревых структур, а также электрохимических процессов в алюминиевом электролизере с целью оптимизации его работы.

The purpose of the research work is: a) theoretical study of grid approximations of singularly perturbed boundary value problems for the convection-diffusion equation, initial-boundary value problems of hydrodynamics, gas dynamics, as well as MHD problems with generalized solutions; b) development and software implementation of adaptive FEM for problems of mathematical physics with solutions that have strong local features such as boundary and inner layers, wave fronts; c) mathematical modeling of the state of a weakly ionized low-temperature plasma arising in the atmosphere, taking into account chemical-kinetic processes; d) numerical modeling of the processes of formation and evolution of nonlinear hydraulic waves and vortex structures, as well as electrochemical processes in an aluminum electrolyzer in order to optimize its operation.

Будет развит аппарат получения априорных оценок для сеточных моделей соответствующих дифференциальных задач, построены новые адаптивные методы решения сингулярно возмущенных краевых задач и дана оценка их эффективности, разработан метод получения ряда характеристик низкотемпературной плазмы, возникающей в некоторых прикладных задачах. Будет изучено влияние различных факторов на образование, скорость и эволюцию гидравлических волн. С использованием МГД-модели будет изучено влияние лучистого теплообмена и характера зависимости теплофизических параметров среды от температуры на распределение температурных полей в электролизере, проведено математическое моделирование распределения и эволюции дисперсной газовой фазы в электролизере.

Исследования по тематике НИР ведутся коллективом исполнителей на протяжении ряда лет и она является их естественным продолжением. За последние пять лет по связанному с темой НИР направлению, была опубликована 41 статья в журналах, сделано 54 доклада на международных и Всероссийских конференциях.

Развит математический аппарат получения априорных оценок в анизотропной по малому параметру норме Гёльдера решения краевых задач для сингулярно возмущенного уравнения конвекции-диффузии с переменными коэффициентами и негладким решением. Для первой краевой задачи в полуплоскости с конвекцией, направленной под углом к границе, получена неулучшаемая оценка ограниченного на бесконечности решения через правую часть. Для регулярной составляющей решения смешанной краевой задачи в квадрате с конвекцией, направленной под углом к одной из границ, получено обобщение найденных ранее оценок. Продолжено развитие способа построения операторно-разностных схем для систем нелинейных дифференциальных уравнений с краевыми и начально-краевыми условиями, основанного на использовании сеточных аналогов частных производных обобщенных функций. Построена и исследована новая неявная схема для системы уравнений газовой динамики в смешанных переменных, и предложен двухшаговый итерационный метод решения возникающей нелинейной сеточной задачи. Для решения систем сингулярно возмущенных краевых задач для ОДУ 2-го порядка продолжена разработка и программная реализация h-версии МКЭ с кусочно-линейными базисными функциями и различными стратегиями адаптации сетки и способами вычисления индикаторов коррекции. Продолжена разработка и реализация адаптивной h-версии МКЭ для решения задачи Дирихле для сингулярно возмущенного уравнения реакции-диффузии в двумерной области с полигональной границей. Разработан новый алгоритм апостериорного оценивания погрешности неявного метода Штермера решения ОДУ 2-го порядка на интервалах большой длины. Проведено математическое моделирование динамических процессов в слабоионизованной плазме с целью изучения ее свойств в различных слоях атмосферы. Эти исследования важны для понимания характера распространения радиоволн и влияния плазменных процессов на функционирование системы ГЛОНАСС. Для изучения процесса образования вихревых структур были модифицированы математическая модель и соответствующий программный комплекс. Было исследовано влияние температуры вихревых структур на формирование волн и изучены условия возникновения ударной волны в зависимости от силы и температуры ветра. Выявлены некоторые условия возникновения волн аномально большой амплитуды, учет которых позволяет разработать меры безопасной работы нефтяных платформ и танкеров. Выполнено математическое моделирование процесса электролиза алюминия по уточненной МГД-модели, учитывающей зависимость теплофизических характеристик сред от температуры и изменение геометрии токопроводящих анодных блоков за счёт окисления. Изучено влияние изменения формы анодных блоков на распределение электрических токов и потенциала в электролизной ванне и на устойчивость ее работы.