![]() |
ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
Исследование направлено на изучение динамики систем классической механики в рамках следующих задач. Изучение хаотических явлений в сохраняющих объем потоках на трехмерных многообразиях. Изучение диффузии Арнольда в априори устойчивом случае. Применение метода критических гиперболических многообразий к исследованию гамильтоновых систем, медленно зависящих от времени. Построение мажорантного метода для решения нелинейных задач о точках совпадения отображений банаховых пространств, для нахождения разрывов и для доказательства неустойчивости в эволюционных задачах для дифференциальных уравнений в пространствах последовательностей. Доказательство теоремы существования для линейной гамильтоновой системы в шкале банаховых пространств и получение теоремы о возвращении типа теоремы Пуанкаре. Изучение метода одночастотного усреднения в бесконечномерных системах, а также методов усреднения неголономных и других систем при одночастотных и многочастотных возмущениях. Изучение стабилизации решений нелинейного уравнения Власова, описывающего кинетику континуума взаимодействующих частиц в применении к модели поведения частиц пыли в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна при учете различных возмущающих факторов. Оценка сверху скорости роста коэффициентов асимптотического ряда для оператора Шредингера с малым параметром вблизи минимума потенциала. Задача о гомотопии тождественному отображению диффеоморфизма, изотопного тождественному отображению на группе диффеоморфизмов гладкого многообразия, сохраняющих заданный тензор; изучение степени гладкости данной гомотопии.
The research is devoted to dynamics of classical mechanics systems. We study chaotic effects generated by volume-preserving flows on three dimensional manifolds. We study the Arnold diffusion in a priory stable case. We study applications of critical hyperbolic manifolds method to Hamiltonian systems that depend on time slowly. We construct a majorant method to study nonlinear problems about coincidence points of Banach spaces mappings. We construct a majorant functions method to study the stability and existence problems for differential equations in sequence spaces. We study a linear Hamiltonian system in a scale of Banach spaces and investigate problems of existence and versions of Poincare recurrence theorem. We study the averaging method for infinite dimensional systems with one frequency; we also study averaging methods for nonholonomic and other systems with one-frequency or multi-frequency perturbations. We study stabilization of solutions to nonlinear Vlasov equation that describes dust’s behavior in vicinity of librations points in the Earth-Moon system. We study estimations from above for increasing speed of coefficients of asymptotic series for the Schrödinger operator with a small parameter. We study a problem of diffeomorphism’s homotopy to the identity. The diffeomorphism is defined on a smooth manifold and preserves a tensor field. We also study smoothness of this homotopy.
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 5 февраля 2018 г.-31 декабря 2018 г. | Математические проблемы классической динамики |
Результаты этапа: Для потока в конечномерном пространстве изучен вопрос о существовании решения, асимптотически стремящегося к неустойчивому положению равновесия. Сформулированы гипотезы, требующие дальнейшей проверки. Получены теоремы существования точки совпадения гладких отображений банаховых пространств и существования квадратного уравнения на пространстве операторов. Доказана теорема существования большого класса негомотопных периодических решений для натуральных лагранжевых систем с дискретной симметрией на некомпактном конфигурационном многообразии. Для механических систем на вибрирующем основании получены условия для направляющего вектора поступательных вибраций, при которых у предельной системы сохраняются равновесия, имеющиеся у системы без вибраций. Показано, что в невырожденном случае их всегда можно сделать устойчивыми. Изучено движение шайбы по горизонтальной плоскости в модели вязкого трения с коэффициентом трения, линейно зависящим от плотности нормальной реакции в точке контакта тела с опорной поверхностью. В задаче о движении твердого тела, опирающегося в трех точках на равномерно вращающуюся горизонтальную плоскость с линейным вязким трением, и свободно вращающегося вокруг некоторой неподвижной вертикальной оси, доказано, что в зависимости от параметров система имеет устойчивый предельный цикл, по наблюдаемым характеристикам которого могут быть определен коэффициента вязкого трения. Предложенная процедура вывода уравнений Власова-Пуассона-Пуассона в неинерциальной системе координат для системы взаимно гравитирующих заряженных частиц, движущихся во внешнем гравитационном поле, применена к задаче о существовании пылевых облаков Кордылевского в окрестности треугольных точек либрации системы Земля-Луна. Из уравнения Власова выведена система эллиптических уравнений на потенциалы гравитационного и электростатического полей. В задаче о включении отображения в поток основные группы диффеоморфизмов гладкого многообразия, сохраняющих тензор, исследованы на наличие свойства локальной линейной связности. Доказана линейная связность группы диффеоморфизмов, сохраняющих элемент объем стандартного евклидова пространства. Задача поиска изотопии в бесконечномерной группе диффеоморфизмов, сохраняющих форму объема, сведена к поиску изотопии в конечномерной группе матриц с единичным определителем. Найдены достаточные условия на подгруппу диффеоморфизмов двумерного компактного многообразия, имеющих первый интеграл, при которых она локально линейно связна в группе всех диффеоморфизмов, но не является локально линейно связной в подгруппе диффеоморфизмов, сохраняющих заданную функцию. В задаче о диффузии Арнольда в многомерных априори неустойчивых системах доказана теорема о типичности диффузии, дана оценка скорости диффузии. | ||
2 | 26 марта 2019 г.-31 декабря 2019 г. | Математические проблемы классической динамики |
Результаты этапа: - Разработаны формальные конструкции для расширения понятия метрической энтропии на бесконечномерные пространства. В частности, для пространства X с вероятностной мерой m введено понятие m-нормы ограниченного оператора на пространстве L2(X, m). Проведены формальные вычисления и найден ряд свойств такой нормы. - Исследована символическая динамика гамильтоновых систем, медленно зависящих от времени и имеющих при замороженном времени пучок гомоклинических траекторий к гиперболическому положению равновесия. Получены траектории таких систем с квазислучайным ростом энергии. Метод критических гиперболических многообразий применен к исследованию быстро-медленных гамильтоновых систем в окрестности гомоклинического множества. - Для систем с некомпактным цилиндрическим конфигурационным пространством и периодическим по времени лагранжианом при наличии определенной симметрии доказано существование периодических решений, отвечающих каждому (в том числе и нулевому) гомотопическому классу замкнутых кривых. Найдены примеры, показывающие, что условия теоремы неулучшаемы. - Для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых периодичны по времени с несколькими частотами, получена оценка сверху отклонения решения последовательно усредненной системы от решения исходной системы. - Для движущейся поступательно вдоль неподвижной прямой с вязким трением платформы с подвижной внутренней массой найдены условия, при которых величина скорости платформы ограничена. При этом в случае линейного вязкого трения неограниченное смещение платформы невозможно. При неограниченном смещении платформы в какую-либо сторону скорость платформы меняет свое направление бесконечное число раз, а общее время движения платформы в противоположную сторону и пройденный при этом путь стремятся к бесконечности. - Изучена эволюция плазменных и гравитирующих газо-пылевых сред с применением уравнения Власова-Пуассона-Пуассона и метода энергии-казимира в модели взаимодействия встречных потоков частиц. Численным моделированием показана возможность формирования стабильных конфигураций, а в частности, образования «двойных звезд», то есть двух устойчивых скоплений частиц, вращающихся вокруг центра масс. - Доказана локальная линейная связность подгрупп Ли группы диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую структуру на многообразии; форму объема на компактном гладком многообразии, а также стандартную форму объема в стандартном конечномерном евклидовом пространстве. Найдены достаточные условия, при которых заданный диффеоморфизм компактной ориентированной поверхности не изотопен тождественному отображению в группе диффеоморфизмов, сохраняющих гладкую функцию или векторное поле, но изотопен тождественному отображению в группе всех диффеоморфизмов. - В системе из бесконечного числа абсолютно упругих частиц на прямой, массы и начальные взаимные расстояния между которыми периодически повторяются, найдены условия существования решений типа бегущих волн. Получен критерий существования решения такого типа с заданным числом ударов. - Для оператора Шредингера, удовлетворяющего условию квантовой интегрируемости, получены оценки типа Жевре-1 на скорость роста коэффициентов асимптотического ряда для собственных значений. | ||
3 | 20 марта 2020 г.-31 декабря 2020 г. | Математические проблемы классической динамики |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".