ИСТИНА

Отправной точкой предлагаемого проекта является новый метод, позволяющий интерпретировать возникающие в CR-геометрии объекты (многообразия Коши-Римана с вырождениями) как динамические системы, и наоборот. Оказывается, что геометрические свойства многообразий Коши-Римана находятся во взаимно-однозначном соответствии со свойствами ассоциированных с многообразиями динамических объектов, что приводит к появлению универсального словаря, переводящего термины CR-геометрии на язык одной из фундаментальных областей современной математики - динамических систем. Эта новая техника была открыта участниками австрийской группы Б. Ламелем и И. Коссовским (также совместно с Р. Шафиковым), давшими ей название CR-DS (многообразия Коши-Римана - динамические системы) техники. Данная техника является развитием более ранних идей А.Сухова относительно соответствия невырожденных дифференциальных уравнений и невырожденных CR-многообразий. Совсем недавно CR-DS техника позволила решить ряд важных и давно поставленных задач CR-геометрии, относящихся к многообразиям Коши-Римана с вырождениями CR-структуры. Данный совместный проект направлен на дальнейшее применение CR-DS техники к решению открытых проблем в комплексном анализе. Как следствие, мы также планируем получить некоторые новые результаты в области аналитических дифференциальных уравнений. Подводя итоги, наметим подробнее основные цели проекта. 1) Систематически изучить геометрические и асимптотические свойства CR-отображений и проблемы эквивалентности для общих голоморфно невырожденных вещественно-аналитических гиперповерхностей в N-мерном комплексном пространстве. Использовать для этого (и, при необходимости, развить) современные методы теории динамических систем. 2) (а) Используя методы CR-геометрии, построить сходящуюся нормальную форму для (неособых) вполне интегрируемых систем аналитических уравнений в частных производных второго порядка, а также для более общих классов систем уравнений в частных производных. (б) Используя методы CR-геометрии, получить полную классификацию уравнений Пенлеве в неособых точках относительно действия группы локальных диффеоморфизмов. Также предложить нормальную форму в неподвижных особых точках.

The project is motivated by a recent technique of interpreting objects arising in CR-geometry (Cauchy-Riemann manifolds with degeneracies) as dynamical systems, and vice versa. It turns out that geometric properties of Cauchy-Riemann manifolds are in one-to-one correspondence with that of the associated dynamical objects, and in this way one obtains a universal vocabulary between CR-geometry and one of the fundamental areas of modern mathematics: dynamical systems. This novel technique was discovered by the members of the Austrian group B. Lamel and I. Kossovskiy (partly also joint with R. Shafikov). They call the latter method the CR (Cauchy-Riemann manifolds) - DS (Dynamical Systems) technique. This technique is a development of earlier ideas of A.Sukhov on the correspondence between nondegenerate differential equations and nondegenerate CR-manifolds.The CR - DS technique has recently helped to solve a number of long-standing problems in CR-geometry, related to Cauchy-Riemann manifolds with degeneracies of the CR-structure. The current research project is aimed for further applying the CR - DS technique to open problems in complex analysis. As a bi-product, we plan establishing certain new results in the area of analytic differential equations. More precisely, the main goals of the project can be summarized as follows. 1) Study systematically geometric and asymptotic properties of CR-mappings and equivalence problems for general holomorphically nondegenerate real-analytic hypersurfaces in the N-dimensional complex space. Do so by employing (and developing, if necessary) modern methods in the theory of dynamical systems. 2) (a) By employing methods of CR-geometry, construct a complete convergent normal form for (nonsingular) completely integrable second order systems of analytic PDEs, as well as for more general classes of systems of PDEs. (b) By employing the CR-geometric approach, obtain a complete classification of the Painlev'e differential equations at nonsingular points under the entire group of local diffeomorphisms. Provide as well a normal form at the non-movable singularities.

В ходе выполнения проекта ожидается получить следующие важные результаты. 1. Распространить метод построения модельной поверхности на СR-многообразия с вырождениями и описать модификации базовых свойств этих поверхностей. Получить описание локальных моделей для ассоциированных (через Сегре-семейства) систем дифференциальных уравнений. 2. Для CR-отображений ростков голоморфно невырожденных вещественно-аналитических гиперповерхностей в комплексном пространстве произвольной размерности: (i) доказать, что всякое обратимое бесконечно гладкое CR-отображение ростков гиперповерхностей фуксова типа аналитично; (ii) доказать, что всякое формальное обратимое CR-отображение ростков гиперповерхностей фуксова типа имеет сходящийся ряд Тейлора; 3. Доказать, что формально эквивалентные ростки вещественно-аналитических гиперповерхностей в комплексном пространстве произвольной размерности бесконечно гладко CR-эквивалентны; в голоморфно невырожденном случае установить оптимальные асимптотические свойства (такие как порядок Жевре) рассматриваемых CR-эквивалентностей. 4. Решить следующие проблемы эквивалентности в комплексном пространстве произвольной размерности: (i) проблему голоморфной эквивалентности ростков гиперповерхностей фуксова типа с помощью построения сходящейся нормальной формы; (ii) проблему бесконечно гладкой CR-эквивалентности ростков нефуксовых гиперповерхностей с помощью построения формальной нормальной формы. 5. Применить результаты задачи 4 к описанию симметрий соответствующих CR-многообразий. 6. Для дифференциальных уравнений Пенлеве: (i) получить полную классификацию возле неособых точек относительно действия группы локальных диффеоморфизмов; (ii) построить нормальную форму, происходящую из CR-геометрии, в их особых точках. на английском языке We hope to obtain the following important results. 1. Extend the model surface method to CR-manifolds with degeneracies and describe the modification of basic properties of such surfaces. Obtain the description of the local models for the associated (via Segre families) systems of diferential equations. 2. For CR-mappings of real-analytic holomorphically nondegenerate hypersurfaces in a complex space of arbitrary dimension: (i) prove that any invertible infinitely smooth CR-mapping between Fuchsian type hypersurfaces is analytic; (ii) prove that any formal invertible CR-mapping between Fuchsian type hypersurfaces is convergent. 3. Prove that formally equivalent real-analytic hypersurfaces in a complex space of arbitrary dimension are also infinitely smoothly CR-equivalent; in the holomorphically nondegenerate case, establish optimal asymptotic properties (such as the Gevrey order) for the CR-equivalences under consideration. 4. Solve the following equivalence problems in a complex space of arbitrary dimension: (i) the holomorphic equivalence problem for Fuchsian type hypersurfaces, by constructing a convergent normal form; (ii) the problem of an infinitely smooth CR-equivalence for non-Fuchsian type hypersurfaces, by constructing a formal normal form. 5. Apply the result of Problem 4 for describing the automorphisms groups of the respective CR-manifolds. 6. For the differential Painlev'e equations: (i) obtain a complete classification near their nonsingular points under the group of local diffeomorphisms; (ii) construct a CR-inspired normal form at their singular points.