ИСТИНА

Основной теоретической целью исследования является решение ряда актуальных задач геометрической теории приближений и сопутствующих актуальных задач из геометрии линейных нормированных и несимметрично нормированных пространств и комбинаторной геометрии выпуклых множеств, а также актуальных задач теоретической информатики. Приложения включают применение теории приближений для нахождения решений уравнения эйконала (основного уравнения геометрической оптики), теория нейронных сетей и ее применения в задачах биологической активности молекулярных графов, исследование архитектуры нейронных сетей, построенных на RBF-элементах, а также задачи машинного обучения. Проект является междисциплинарным. В нем изучаются как теоретические вопросы теории приближений и теоретической информатики, так и их приложения, получаемые, в том числе, при применении аппарата теории приближений к задачам теоретической информатики. Машинное обучение оказывает огромное влияние на мир с помощью таких продуктов, как автоматическое распознавание лиц и объектов в компьютерном зрении, автомобили с автономным управлением, автоматический перевод и множество других продуктов. Тем не менее, большая часть исследований по машинному обучению, как правило, фокусируется на успешных алгоритмах для конкретных задач машинного обучения. Более широкая теоретическая картина того, когда и почему алгоритмы машинного обучения успешны, как правило, обсуждается в ряде смежных областей и дисциплин, охватывающих прикладную математику, теорию компьютерных наук и статистику. В частности, в теоретических и практических вопросах машинного обучения и нейронных сетей большую роль стала играть теория приближений, к примеру, при исследовании существующих и будущих актуальных задач машинного обучения и науки о данных (data science). В настоящее время связи между теорией приближений и машинным обучением раскрываются всё полнее. Алгоритмы конструктивной аппроксимации функций имеют много общих черт с контролируемыми методами обучения - к примеру, классический метод наименьших квадратов активно используется как в полиномиальной аппроксимации, так и в регрессионном анализе. Теория приближений и, в частности, ее геометрическая часть, в настоящий момент активно применяется для создания основанных на геометрии методы статистического обучения для выполнения редукции моделей и моделирования некоторых классов стохастических многомерных динамических систем. В этой связи в проекте исследуются различные примеры из молекулярной динамики, иллюстрирующие эти идеи, в которых важную роль играют техника из различных областей математики и теоретической информатики.

The main aim is to solve a number of long-standing problems in geometric theory of approximation and giving answers to corresponding problems from the geometry of normed and asymmetrically normed spaces and the geometry of convex sets. Applications include finding solutions of the eikonal equation via approximation theory machinery, theory of neural networks and its applications in problems of biological activity of molecular graphs, the study of the architecture of neural networks based on RBF-elements, and machine learning problems.

Будут получены новые результаты о различных непрерывных выборках из операторов почти наилучших приближений в новых терминах, в частности опирающихся на свойства метрической функции. Планируется установить новые результаты об устойчивости чебышёвского проектора в полиэдральных пространствах и о существовании липшицевых выборок из множества относительных чебышёвских центров. В проекте будут изучены аппроксимативные свойства множеств, у которых оператор метрической антипроекции (max-проекции) является однозначным и устойчивым. Изучить аналоги условия Колмогорова (характеризации наилучшего приближения) в терминах метрической антипроекции. Охарактеризовать множества с непрерывной (полунепрерывной снизу) метрической проекцией в пространстве $\ell^\infty_n$. Дать описание трехмерных пространств, в которых всякое множество с непрерывной метрической проекцией монотонно линейно связно. Исследовать вопрос о монотонной линейной связности чебышёвских множеств в трехмерных пространствах. Будет проведены исследования и практические шаги по разработке нейросетевых компонент автоматизированной проверяющей системы и разработке электронных курсов на базе автоматизированной проверяющей системы. Будет проведена опытная эксплуатация системы цифровой образовательной платформы в курсе «Работа на ЭВМ и программирование» и организован свободный доступ студентов к материалам занятий для индивидуальной подготовки «В Контакте». Будут исследованы метрические свойства признаковых пространств, описывающих обучающие множества для ряда выборок молекулярных графов, имеющих как биологические, так и физико-химические свойства на основе «структурного символьного спектра» молекулярного графа. Будет проведено формирование и кластерная обработка семейства матриц «молекула-дескриптор». Продолжить исследования по обоснованию устройства глубокой нейронной сети. Получить ряд результатов по цифровой обработке изображений и машинному обучению. Рассмотреть специальные вопросы теории компиляции и теоретической информатики. Рассмотреть основные и вспомогательные понятия для задач рекомендательных систем.

Участники проекта имеют ряд публикаций по рассматриваемым вопросам. Опубликованы два обзора в журнале "Успехи математических наук" (2016 и 2019 гг.). Имеется ряд публикаций в профильных научных журналах как теоретического, так и прикладного характера (статьи опубликованы, в частности, в следующих журналах: Математический сборник, Вестник кибернетики, Доклады РАН, J. Fixed Point Theory Appl., Вестник МГУ, Дифференц. уравнения, J. Convex Anal., Set-Valued Var. Anal., Труды МИАН, Труды НИИСИ РАН и др). Авторами Проекта подготовлен несколько монографий и учебников по исследуемым темам (см. библиографию по Проекту).

Получен ряд новых аппроксимативно-геометрических свойств множеств с полунепрерывным снизу оператором метрической проекции. Показано, что в конечномерном банаховом пространстве замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией обладает непрерывной выборкой из оператора почти наилучшего приближения. Получены новые результаты о существовании различных непрерывных выборкок из операторов почти наилучших приближений в новых терминах, в частности опирающихся на свойства метрической функции. Установлена (совместно с Е.В.Щепиным) выпуклость чебышёвских множеств (в конечомерном случае) и солнц по касательным направлениям единичной сферы. Решена давно стоящая задача о характеризации строго солнца через свойство ацикличности значений метрической проекции. Сформулировано условие принадлежности элемента кластеру – классический и нечеткий (fuzzy) варианты, - позволяющие корректно определить «область допустимых значений» и иметь возможность отказа от прогноза для «чужих» объектов, что повышает качество прогнозирования свойств новых химических соединений. Разработана методика формирования положения в метрическом пространстве параллельно работающих вычислительных элементов (RBF-нейронов). Разработан алгоритм на основе методики и проведена его программная реализация на языке Python. Программа позволяет оптимально выбирать с точки зрения скользящего контроля покрытие кластера интерполирующими кернел-элементами при построения на них непараметрической регрессии. Разработана методика выбора покрытия кластера формальными элементами при использовании алгоритма Форэль. Разработан алгоритм на основании методики и проведена его программная реализация на языке Python. Программа позволяет оптимально выбирать параметр работы алгоритма Форэль – радиус покрытия R. Разработан эволюционный алгоритм решения задачи оптимального выбора подмножества дескрипторов, на которых задается метрика для «очень широких» матриц «молекула-дескриптор» на основе метода МГУА (метода группового учета аргументов). Проведено исследование метрических свойств признаковых пространств, описывающих обучающие множества для ряда выборок для молекулярных графов, имеющих как биологические, так и физико-химические свойства.