Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016-2020НИР

Optimization, Issues of analysis, Ordinary Differential Equations, Partial Differential Equations, applied math 2016-2020

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016
Результаты этапа: 1. Улучшены оценки снизу на рост норм в среднем последовательности коэффициентов Фурье экспонент от нелинейного преобразования тора на себя. 2. Изучены асимптотические свойства чебышёвских сплайнов с фиксированным числом узлов, в частности, найдены асимптотика узлов и C-нормы, доказано, что нормированный сплайн асимптотически равен многочлену Чебышёва, получены следствия для асимптотики колмогоровских поперечников классов Соболева. 3. Доказано, что декартово произведение октаэдров плохо приближается пространствами половинной размерности в смешанной (2,1)-норме. 4. Получены оценки распределения подмножеств натуральных чисел, замкнутых относительно операции умножения на коротких интервалах. 5. А) Получены оценки на длину шага дискретизации динамической системы с переключениями в терминах неравенства Маркова-Бернштейна для систем экспонент на полупрямой. Б) Построена теория линейных динамических систем на графах, разработан алгоритм вычисления показателя Ляпунова и получения кусочно-линейной функции Ляпунова таких систем. В) Используя теорию масштабирующих функциональных уравнений, найдены точные показатели асимптотического роста бинарной функции разбиения Эйлера для произвольных множеств цифр. 6. А) Доказана теорема о существовании инвариантного подпространства для несжимающей ограниченной полугруппы аффинных операторов. Б) Исследована структура полугрупп вещественных конечномерных линейных операторов с постоянным спектральным радиусом. В) Получены необходимые и достаточные условия сходимости цепей Маркова с многомерным временем в терминах “k-полупримитивных” семейств матриц. Г) Построен канонический изоморфизм, связывающий одномерные и многомерные решения уравнений самоподобия. 7. Исследованы некоторые свойства гладких чебышёвских обобщённых полиномов и построенных по ним «обобщённо-полиномиальных» сплайнов. 8. При доказательстве ключевой оценки для нелинейного функционала от разрешающего оператора системы Стокса, входящего в явную формулу для решения НПУ, был обнаружен ряд серьезных технических проблем. Еще на этапе 2015г. оценку функционала от решения системы Стокса, зависящего от трех пространственных переменных, удалось свести к оценке нескольких различных функционалов от решения одномерного уравнения теплопроводности. К концу 2015г. полное доказательство оценки было известно лишь для одного из этих функционалов. При доказательстве (в 2016г.) оценок для остальных функционалов возникло ряд непростых технических проблем. Решение этих проблем потребовало определенного времени. Тем не менее, за прошедший год получено полное доказательство оценок для всех функционалов. В итоге результат, указанный выше, в настоящее время полностью готов к печати (см. [6]). 9. Сделан хотя и первый, но очень важный шаг в построении теории стабилизации около нуля решений уравнений Бюргерса, а также и Гельмгольца, посредством управления, импульсного по времени. Предложена конструкция стабилизации, основанная на использовании информации о динамической структуре соответствующего нормального параболического уравнения. 10. Для заданного начального условия и произвольного $K>0$ построена граничная функция $u(t)$, стабилизирующая решение уравнения Бюргерса на полуоси со скоростью $1/t^K$. Получены поточечные и среднеквадратичные оценки решения. Граничное управление для уравнения Бюргерса выражено в явном виде при помощи подстановки Хопфа-Коула. Отметим важный вычислительный аспект, что данное построение допускает обратную связь с получаемым решением. 11. Для 3D-системы Стокса построено граничное управление в явном виде. Решена задача стабилизации ротора (решения) со степенной скоростью. Граничное условие для ротора выражено через сферические функции. Получена оценка решения в пространстве квадратично суммируемых функций с весом. Данная оценка в дальнейшем позволит получить соответствующую оценку для векторного поля. 12. Задача Стокса-Лейбензона для Хиле-Шоу течения формулируется как задача Коши для нелинейного интегро-дифференциального уравнения относительно функции a и b, связанных с помощью преобразования Гильберта. Функция а выражает эволюцию коэффициента продольной деформации свободной границы, а функция b является эволюцией угла наклона касательной к этому контуру. Эти функции непосредственно отражают изменения геометрических характеристик свободной границы более высокого порядка, чем эволюция точки контура, получаемая с помощью классического Галина-Кочиной уравнение. Именно поэтому удалось выявить 1) причину отсутствия решений в случае стока, если исходный контур не является аналитическим хотя бы в одной точке, 2) доказать теоремы существования и единственности, 3) выявить критическое множество в пространстве контуров. Один из элементов этого множества - окружность, в центре которой расположен источник или сток. Существенным является анализ дискретной квази-контурной модели этой задачи, численный анализ которой подтвердил теоретические результаты, в частности, существование критического подмножества ко-размерности 1 в пространстве квази-контуров. Б. Рассмотрена обратная задача идентификации параметров систем дифференциальных уравнений по экспериментальным измерениям тех функций, которые соответствуют некоторым компонентам вектор-решения системы. Изучен важный для приложений химической и биохимической кинетики частный случай, когда редуцированные уравнения линейно зависят от комбинаций исходных неизвестных параметров. Проведен анализ и получены численные результаты для двух типовых систем уравнений химической кинетики: модели Лотки–Вольтерры о сосуществовании “жертвы” и “хищника” и уравнения химической кинетики, моделирующие реакции ферментного катализа, включая уравнения Михаэлиса–Ментен. Поиск неизвестных параметров сводится к задаче минимизации квадратичной функции. При этом используются редуцированные дифференциальные уравнения систем, а не их вектор-решения, которые в большинстве случаев неизвестны. Проанализированы случаи как устойчивого, так и неустойчивого поиска неизвестных параметров.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2017)
Результаты этапа: Исследованы взаимосвязи необходимых условий минимума в абстрактной задаче оптимального управления (в форме принципа максимума Понтрягина), условий минимума в соответствующей ей релаксационной (ослабленной) задаче и достаточных условий локальной управляемости управляемой системы, задающей ограничения в исходной постановке. Полученные результаты применяются к стандартной задаче оптимального управления общего вида. Доказана теорема о неявной функции для включений, задаваемых близкими отображениями и показано ее применение к обработке результатов, полученных с погрешностью. Найдены достаточные условия локальной управляемости управляемой динамической системы для случая, когда линейное приближение этой системы не является управляемым. В качестве следствия получены необходимые условия оптимальности второго порядка для задачи оптимального управления общего вида.
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2018)
Результаты этапа:
4 1 января 2019 г.-31 декабря 2019 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2019)
Результаты этапа: Для абстрактной управляемой системы получены достаточные условия ее локальной управляемости, содержательные для случая, когда линейное приближение этой системы не является вполне управляемым. В качестве непосредственного следствием этого результата получены условия оптимальности второго порядка для абстрактного варианта задачи оптимального управления. Доказанные общие утверждения применяются к классической ситуации - к управляемой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. В задача о форме выпуклого тела, имеющего минимальное сопротивление при движении в разреженной среде, была аналитически выведена форма тела в классе минимальных тел, обладающих вертикальной плоскостью симметрии, и доказана его локальная оптимальность. Полученное сопротивление хорошо согласуется с существующими численными расчетами. Показана корректность обратной МЭЭГ-задачи.
5 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2016 (2020)
Результаты этапа: Итак, за отчётный период: 1. Получены необходимые условия для локального инфимума – понятия, обобщающего понятие оптимальной траектории (эти условия усиливают классический результат – принцип максимума Понтрягина и развивают его на более общие классы задач оптимального управления, где отсутствует оптимальная траектория). 2. Найдены явные выражения для оптимальных методов восстановления в задаче Дирихле для полупространства (эти явные выражения могут служить основой для построения эффективных численных алгоритмов в задачах нахождения решений дифференциальных уравнений по неточным исходным данным).

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".