Динамика негамильтоновых системНИР

Non-hamiltonian systems' dynamics

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2016 г.-31 декабря 2016 г. Динамика негамильтоновых систем
Результаты этапа: - Исследована задача о движении круговой пластинки (диска) по равномерно вращающейся горизонтальной плоскости с сухим трением. Показано, что система имеет два инвариантных множества (аттрактор и репеллер). Общее решение уравнений движение получано в случае малого коэффициента трения. - Рассмотрена задача о движении эллипсоида вращения на неподвижной горизонтальной плоскости. Построены уравнения, приближенно описывающие переходные процессы. На плоскости с трением скольжения, верчения и качения рассмотрена эволюция полученных движений. Проведено сопоставление с результатами численных экспериментов. - Рассмотрена задача о движении по плоскости твердого тела, представляющего собой два соединенных по экваториальной плоскости полуэллипсоида вращения с одинаковыми экваториальными радиусами и различными осевыми, центр масс тела совпадает с центром экваториального сечения тела. При некотором классе начальных условий приведен качественный анализ динамики с учетом трения качения, верчения и качения. - Рассмотрено плоскопараллельное движение твердого параллелепипеда на абсолютно жесткой горизонтальной опорной плоскости, совершающей гармонические колебания в горизонтальном направлении. Рассмотрен случай движения по плоскости без проскальзывания, и случай проскальзывания на плоскости с сухим трением. Методом осреднения проведен анализ динамики параллелепипеда, найдены возможные режимы установившихся колебаний и исследована их устойчивость. Результаты исследований подтверждаются численными экспериментами. - Построена модель взаимодействия вязко-упругой плоскости и абсолютно твердого выпуклого тела произвольной формы, аппроксимируемого двухосным эллиптическим параболоидом. Модель применена к задаче о движении ведущего и ведомого колеса (сильно сжатого по одной оси параболоида) по неподвижной шероховатой поверхности. Проведено сравнение полученных результатов для поликомпонентной модели с динамикой колеса по плоскости с классическим вязким и сухим трением, а также в случае движения без проскальзывания. - Рассмотрена задача о движении цилиндра по гармонически колеблющейся плоскости с трением. На цилиндр действует сила сухого трения, подчиняющаяся закону Кулона и момент трения качения. Найдены стационарные движения цилиндра и рассмотрен вопрос их устойчивости. - В задаче о качении без скольжения динамически симметричного эллипсоида вращения по неподвижной горизонтальной плоскости указан ряд условий, налагающих ограничения на параметры эллипсоида (его массу, моменты инерции и длины полуосей), при выполнении которых удаётся указать в явном виде все первые интегралы задачи и, тем самым, свести задачу к квадратурам. Доказана физическая допустимость полученных условий. - Исследована кинематика простейшей модели двухколёсной роликовой доски, известной как эссборд или рипстик. В предположении, что платформы рипстика отклоняются на одинаковые по модулю углы в разных направлениях относительно продольной оси рипстика, получена связь между углом наклона платформы рипстика и углом поворота соответствующего колеса. - Найдены все стационарные движения тяжелого динамически симметричного твердого тела с вязким наполнителем, подвешенного на стержне, в однородном поле силы тяжести и исследованы устойчивость и ветвление этих стационарных движений. Результаты исследования представлены в виде полного атласа бифуркационных диаграмм Смейла. - Численно исследовано движение волчка тип-топ, моделируемого двумя сферическими сегментами, по плоскости с вязким трением скольжения, пропорциональным нормальной реакции. - Рассмотрена механическая система, состоящая из двух одинаковых математических маятников, связанных линейной пружиной. Предполагалось, что точки подвеса маятников находятся на горизонтальной прямой в однородном поле силы тяжести. Найдены все тривиальные и нетривиальные положения равновесия системы, исследована их устойчивость. Выполнен анализ возможных движений маятников на одномерном многообразии, когда они совершают колебания в противофазе. - Исследована динамика шайбы на наклонной плоскости с трением в случае динамически совместной модели трения, основанной на модели Галина распределения нормальных напряжений. Проведен качественный анализ предельных движений шайбы в случае, когда тангенс угла наклона плоскости меньше коэффициента трения, а также исследованы свойства сил и моментов трения в предлагаемой модели и проведено сравнение с моделью А.П. Иванова.
2 1 января 2017 г.-31 декабря 2017 г. Динамика негамильтоновых систем (2ой год)
Результаты этапа: Исследована динамика шайбы на вращающейся плоскости с трением: найдены инвариантные множества и исследованы их свойства (притяжение и отталкивание), методом малого параметра найдено общее решение уравнений движения шайбы (малый параметр – коэффициент трения) и дан качественный анализ динамики шайбы (А.В. Карапетян) Начато исследование динамики неоднородного динамически симметричного эллипсоида вращения, близкого к однородному шару, на плоскости с силтным вязким трением методом теории сингулярно возмущенных систем. В качестве порождающего решения системы рассмотрена задача о движении однородного шара по абсолютно шероховатой плоскости (А.В. Карапетян). В задаче о движении выпуклого тела по шероховатой вязко-упругой плоскости рассмотрена модель пружинного основания. Форма тела аппроксимируется параболоидом. В предположении, что пружинки основания не взаимодействуют между собой, остаются вертикальными и скользят вдоль поверхности тела, получены выражения для расчета силы и момента сухого трения, распределенного по пятну контакта. Рассмотрены частные случаи: чистое скольжение и чистое верчение вокруг нормали к плоскости. Получены оценки для возникающих сил и моментов трения в предположении достаточно жесткой плоскости, что влечет малость области контакта. Построены графики зависимости силы трения и момента трения. Оба графика терпят разрыв при нулевых скорости скольжения и угловой скорости верчения, что характерно для сухого трения. График силы трения при чистом скольжении имеет при малых скоростях скольжение участок убывания, т.е. наблюдается эффект Штрибека. Эта работа развивает исследования, выполненные исполнителем гранта в соавторстве с Д.В. Трещевым, результаты являются новыми и оригинальными. (А.А. Зобова) В этой модели рассмотрена задача о движении сферического волчка тип-топ. Движение волчка по плоскости с нулевым моментом трения и обобщенно-вязкой силой трения рассматривается как порождающее: в этом случае сохраняется интеграл Джеллета, линейный по скоростям, а полная механическая энергия системы является невозрастающей функцией. Этот факт позволяет построить обобщенные диаграммы Смейла. При движении по шероховатой вязко-упругой плоскости интеграл Джелетта в окрестности стационарных движений является слабо изменяющейся функцией, что позволило сделать качественные выводы о характере движения. Анализ подкреплен расчетами. (А.А. Зобова, А.В. Карапетян). Рассмотрена задача о движении ведомого постоянной в инерциальном пространстве силой колеса. Во-первых, рассматривается система с идеальной неголономной связью: скорость скольжения равна нулю, реакция опорной плоскости сводится к одной силе, приложенной к точке контакта. В этом случае поведение курсового угла θ описывается уравнением математического маятника. Нижнее положение равновесия маятника соответствует устойчивому стационарному движению колеса с нулевым углом курса (θ = 0). При этом точка приложения разгоняющей силы находится перед точкой контакта. Верхнее положение равновесия (θ = π) соответствует движению, при котором точка приложения силы находится позади точки контакта: это движение неустойчиво. На фазовой плоскости θ, dθ/dt построены области, в которых реакция неголономной связи выходит из конуса трения. Показано, что для любой окрестности устойчивого стационарного движения θ = 0 после некоторого времени начнется проскальзывание колеса. Во-вторых, рассматривается движение с неидеальной неголономной связью: добавляются моменты трения качения и трения верчения, пропорциональные соответствующим компонентам угловой скорости. В этом случае движение θ = 0 становится асимптотически устойчивым, а разгон возможен лишь до конечных значений скорости центра колеса. Существуют движения, на которых проскальзывания не происходит во все время движения. В-третьих, исследуется динамика качения колеса по плоскости с распределенным сухим трением. Дано полное описание модели трения и некоторые оценки для возникающих при этом сил и моментов трения. Показано, что при малом значении разгоняющей силы движение близко к движению в случае неидеальной неголономной связи: скорость проскальзывания мала, разгон происходит до конечной величины скорости центра. При большом значении разгоняющей силы вследствие ограниченности момента трения качения после достижения некоторой критической скорости происходит потеря устойчивости нулевого решения и начинаются осцилляции колеса относительно вертикальной оси. Эффект шимми в динамике абсолютно твердого колеса при поликомпонентном трении был обнаружен в статье Журавлёв В.Ф., Климов Д.М. Теория явления шимми // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 22-29, однако при другой постановке задачи: во-первых, не учитывался вынос колеса относительно вилки, во-вторых, вилка предполагалась упругой. Таким образом, постановка задачи является оригинальной, а результаты -- новыми. (Зобова А.А.) Рассмотрена задача о качении тяжелого динамически симметричного эллипсоида вращения по неподвижной абсолютно шероховатой горизонтальной плоскости. С помощью алгоритма Ковачича доказано отсутствие лиувиллевых решений в данной задаче для почти всех значений параметров эллипсоида. (А.С. Кулешов) Исследована кинематика симметричной модели двухколесной роликовой доски, известной как эссборд или рипстик. При помощи теории конечных поворотов предложен элементарный вывод формулы, связывающей угол наклона платформы рипстика с углом поворота колеса. Приведенное доказательство данной формулы является существенно более простым по сравнению с тем, что было получено ранее другими авторами. (А.С. Кулешов, А.И. Буканов) Рассмотрена задача о движении двух динамически симметричных тел, соединенных идеальным сферическим шарниром; одно из двух тел имеет неподвижную точку, а система находится в однородном поле силы тяжести. Исследование данной задачи в трудах Савченко А.Я. и его учеников сводилось к нахождению устойчивости частных стационарных решений, для этого использовалась линеаризация уравнений движения. Тем не менее, в задаче присутствуют первые интегралы, поэтому можно применить теорию Рауса. Выписаны уравнения движения рассмотренной системы и ее первые интегралы: интеграл энергии и три Нетеровых интеграла. Найден эффективный потенциал задачи - минимум энергии по угловым скоростям на фиксированных уровнях Нетеровых интегралов. Известно, что критическим точкам этого потенциала соответствуют стационарные движения системы. Исследован ряд свойств, которыми обладают все стационарные движения, в частности, доказан факт, что на стационарных движениях оси динамической симметрии тел лежат в одной плоскости с вертикалью. Выписаны условия стационарности эффективного потенциала и в явном виде найдены некоторые частные решения этих уравнений. В заключении исследована устойчивость стационарных движений, соответствующих найденным решениям. (Д.А. Бровченко) Исследовано движение однородного диска по вращающейся плоскости с сухим трением. Предполагается, что трение подчинено локальному закону Кулона. Движение диска по неподвижной плоскости в предположении локального закона сухого трения ранее было рассмотрено в работе Ишлинского А. Ю., Соколова Б. Н., Черноусько Ф.Л. (1981). В работе Карапетяна А. В. (2016) проведено качественное исследование движения диска по вращающейся плоскости. В данной работе исследованы некоторые качественные аспекты движения диска с применением численного интегрирования уравнений движения. В частности, динамика диска сравнивается с динамикой точки, которая изучалась ранее (Грудев А. И., Ишлинский А. Ю., Черноусько Ф. Л., 1989). Выделены качественные сходства: найден класс движений диска, при которых траектория его центра масс подходит снаружи к окружности, ограничивающей зону застоя диска. В динамике диска и точки найдены также и отличия: некоторая ненулевая начальная угловая скорость позволяет диску покинуть зону застоя с нулевой начальной скоростью центра масс. В частности, для некоторых начальных положений центра диска численно найдены значения начальной угловой скорости, позволяющие диску покинуть зону застоя. (Виноградова О.А.) Начато исследование динамики шайбы на наклонной плоскости в случае распределенного вязкого трения: найдены инвариантные множества и исследованы их свойства. (А.В. Карапетян). Рассмотрена задача о движении двух одинаковых математических маятников, соединенных линейно-упругой пружиной. Точки подвеса маятников находятся на одной горизонтальной прямой. Исследованы положения равновесия механической системы и их устойчивость. Результаты представлены в виде бифуркационных диаграмм. (А.П. Евдокименко) В задаче о движении дифференциального привода (т.е. двухколесного экипажа с двумя независимыми колесами) по неподвижной горизонтальной плоскости составлены динамические уравнения для произвольной модели трения с учетом управляющих моментов в осях колес. Для модели вязкого трения и при отсутствии управлений найдено инвариантное множество системы – совокупность прямолинейных движений экипажа с одинаковой угловой скоростью колес. На инвариантном множестве найдено общее решение динамических уравнений. Найдены условия устойчивости прямолинейных стационарных движений экипажа. Проведено численное моделирование системы. (А.А. Зобова, Е.Б. Подкользина).
3 1 января 2018 г.-31 декабря 2018 г. Динамика негамильтоновых систем (3ий год)
Результаты этапа: Исследована динамика шайбы на горизонтальной плоскости с сухим трением, вращающейся вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью.Отмечены существенные отличия динамики шайбы на вращающейся плоскости от динамики шайбы на неподвижной плоскости, а также от динамики точки на вращающейся плоскости. Полученные результаты аналогов не имеют и существенно обобщают результаты анализа динамики шайбы на неподвижной плоскости (А.П.Иванов, Д.В.Трещев и др.) и точки на вращающейся плоскости (А.Ю.Ишлинский, Ф.Л.Черноусько, В.Ф Журавлев и др.). Силы и моменты сил трения, действующие на шайбу, вычисляются на основе моделей поликомпонентного трения (П.Контенсу, В.Ф.Журавлев, А.П.Иванов, Д.В.Трещев и др.), динамика шайбы изучается на основе асимптотических методов механики. Исследована задача о качении без скольжения динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной сфере. Предполагается, что силы, приложенные к твердому телу, имеют равнодействующую, приложенную к центру масс G тела, направленную к центру O опорной сферы, и зависящую только от расстояния между точками G и O. Доказано, что в этом случае решение задачи сводится к интегрированию линейного дифференциального уравнения второго порядка относительно компоненты угловой скорости тела в проекции на его ось динамической симметрии. С помощью алгоритма Ковачича доказано существование лиувиллевых решений в задаче о качении по сфере неоднородного динамически симметричного шара. Исследована кинематика движения двухколесной роликовой доски, известной как рипстик или эссборд. При помощи теории конечных поворотов предложен элементарный вывод формулы, связывающей угол наклона платформы эссборда с углом поворота колеса. Приведенное доказательство данной формулы является существенно более простым по сравнению с теми, что были предложены ранее другими авторами. Рассмотрена динамика мобильного экипажа, движущегося по инерции по неподвижной абсолютно шероховатой плоскости. Экипаж состоит из горизонтальной платформы и трех вертикальных омни-колес, которые вращаются независимо друг от друга, их плоскости неподвижны относительно платформы и вертикальны. Два колеса параллельны друг другу, а их оси совпадают (задние колеса), а плоскость переднего колеса перпендикулярна задним. Омни-колесо представляет собой колесо, на ободе которого установлены свободно вращающиеся ролики, так что оно может двигаться как обычное колесо, перекатываясь с ролика на ролик, а может двигаться перпендикулярно своей плоскости. Для исследования влияния инерции ролика на устойчивость прямолинейных движений экипажа переднее колесо моделируется как два твердых тела --- диск колеса и опорный ролик, причем ролик не проскальзывает относительно плоскости. Для указанной модели составлены динамические уравнения в форме лаконичных уравнений Я.В. Татаринова, показана их связь с динамическими уравнениями, полученными для простейшей модели омни-колеса и исследована устойчивость прямолинейных движений в линейном приближении. Изучено квазистатическое плоскопараллельное движение бесконечного упругого цилиндра по плоскому горизонтальному основанию из того же материала (ось цилиндра горизонтальна). Распределение нормальных и касательных напряжений в области контактного взаимодействия цилиндра и плоскости берется из решения задачи теории упругости, в которой используется модель сухого трения Амонтона-Кулона на участке относительного проскальзывания и учитывается наличие участка сцепления. Получено аналитическое решение задачи, построен фазовый портрет системы. Проводится сравнение с задачей о движении абсолютно твердого цилиндра по твердой плоскости с сухим трением и без проскальзывания. Рассматривается динамика симметричного экипажа с роликонесущими колесами, движущегося по неподвижной горизонтальной абсолютно шероховатой плоскости в следующих предположениях: масса каждого ролика ненулевая, контакт между роликами и плоскостью точечный, проскальзывания нет. Уравнения движения, составленные с помощью системы символьных вычислений Maxima, содержат дополнительные члены, пропорциональные осевому моменту инерции ролика и зависящие от углов поворота колес. Масса роликов учитывается в тех фазах движения, когда не происходит смены роликов в контакте. При переходе колес с одного ролика на другой масса роликов считается пренебрежимо малой. Показано, что ряд движений, существующих в безынерционной модели (т.е. не учитывающей массу роликов), пропадает, так же как и линейный первый интеграл. Проведено сравнение основных типов движения симметричного трехколесного экипажа, полученных численным интегрированием уравнений движения с результатами, полученными на основании безынерционной модели.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".