ИСТИНА

Целью работы является разработка алгоритмов решения коэффициентных обратных задач для трехмерных гиперболических уравнений. Обратные задачи волновой томографии рассматриваются с полным диапазоном данных, когда объект зондируется со всех сторон, и неполным диапазоном данных. Основным применением разрабатываемых методов являются задачи ультразвуковой томографии. В отличие от послойных схем томографии, в которых трехмерные обратные задачи сводятся к решению по двумерным слоям, в настоящем проекте разрабатываются алгоритмы решения коэффициентных обратных задач для непосредственно трехмерных уравнений гиперболического типа. В этом случае приходится иметь дело со сверхбольшим объемом данных в нелинейной обратной задаче с числом неизвестных порядка ста миллиардов. Алгоритмы ориентированы на реализацию для суперкомпьютеров на графических картах на языке С/С++/OpenCL. Одной из задач проекта является проведение исследований по эффективному распараллеливанию алгоритмов и разработка сверхмасштабируемого программного обеспечения. Проект открывает новые возможности использования суперкомпьютерных технологий в томографических комплексах, использующих ультразвуковые и электромагнитные источники излучения. Работа посвящена разработке эффективных методов решения обратных задач трехмерной ультразвуковой томографии как коэффициентных обратных задач для волнового уравнения. Стандартные томографические подходы решения задач томографии предлагают проводить исследования 3D объекта по его двумерным сечениям. Эта схема идеально реализуется для X-ray томографии. В отличие от X-ray томографии в ультразвуковой томографии наличие эффектов дифракции и рефракции ограничивает возможность решения 3D задач по 2D сечениям. Предложены эффективные методы решения обратных задач ультразвуковой томографии непосредственно в 3D варианте. Алгоритмы основаны на прямом вычислении градиента функционала невязки. Разработанные алгоритмы ориентированы в первую очередь на разработку ультразвуковых томографов для дифференциальной диагностики рака молочной железы. Проведенные модельные расчеты показали высокую эффективность разработанных алгоритмов. Для реализации алгоритмов использовались суперкомпьютеры на графических картах. Исследованы различные схемы 3D ультразвуковых томографов, в том числе схемы без элементов вращения с фиксированным положением источников и приемников.

The project focuses on the development of efficient methods for solving inverse problems of 3D ultrasound tomography as coefficient inverse problems for wave equation. The idea of standard tomographic approaches to solving tomography problems is to analyze the 3D objects by their two-dimensional cross sections. This scheme is perfectly implemented in the case of X-ray tomography. Unlike X-ray tomography, ultrasonic tomography has to deal with diffraction and refraction effects, which limit the possibility of solving 3D problems by analyzing 2D cross sections. We propose efficient methods for solving inverse problems of ultrasound tomography directly in the 3D formulation. The proposed algorithms are based on direct computation of the gradient of the residual functional. The algorithms are primarily oriented toward the development of ultrasound tomographs for differential diagnosis of breast cancer. Computer simulations demonstrated the high efficiency of the developed algorithms. The algorithms are implemented on GPU-based supercomputers. We analyze various schemes of 3D ultrasonic tomographs including those without rotating elements and with fixed positions of the sources and receivers.

1. Разработка численных методов решения прямых и обратных задач для трехмерных гиперболических уравнений с полным и неполным диапазоном данных, ориентированных на использование графических процессоров. 2. Разработка программы решения прямых и обратных 3D задач с полным и неполным диапазоном данных и проведение модельных расчетов на одной графической карте на суперкомпьютере «Ломоносов» на сетке 100х100х100 точек. 3.Проведение исследований по распараллеливанию алгоритмов на несколько GPU для решения прямых и обратных 3D задач с полным и неполным диапазоном данных. 4. Разработка программного обеспечения для нескольких десятков GPU суперкомпьютера «Ломоносов» на языке программирования С/С++/OpenCL для решения прямых и обратных 3D задач с полным и неполным диапазоном данных. 5. Исследований масштабируемости программного обеспечения с использованием нескольких десятков графических карт. 6. Проведение модельных расчетов в 3D обратных задачах на разработанном программном обеспечении с целью оптимизации томографических схем, параметров источников, приемников и т.п.

Участники проекта имеют богатый опыт решения широкого круга обратных задач вычислительной диагностики, в том числе обратных задач рентгеновской томографии, РЛС с синтезированной апертурой, обратных задач волновой томографии. В рамках перечисленных ниже проектов разработаны эффективные методы решения коэффициентных обратных задач. Обратные задачи рассматриваются как задачи определения неизвестных коэффициентов гиперболического уравнения по томографическим данным, полученным при разных положениях источников. В перечисленных ниже разработках предложены эффективные алгоритмы решения обратных задач волновой томографии в послойном варианте на суперкомпьютерах с процессорами общего назначения: 1. «Разработка методов решения 3D нелинейных коэффициентных обратных задач волновой томографии с использованием супер-ЭВМ» 2012 – 2013 гг. Работа посвящена разработке алгоритмов решения обратных задач волновой томографии в послойном варианте, когда решение трехмерной задачи заменяется на решение набора независимых двумерных задач аналогично тому, как это делается в рентгеновской томографии. Разработаны эффективные численные алгоритмы, реализованные на супер-ЭВМ с процессорами общего назначения. Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ и Министерства образования и науки Российской Федерации (грант РФФИ № 12-07-00304-а и Госконтракт № 07.514.12.4024). 2. «Разработка на суперкомпьютерах петафлопсного уровня высокомасштабируемых методов математического моделирования распространения ультразвуковых волн и диагностики сред с учетом поглощения» 2013 – 2014 гг. Разрабатываются алгоритмы решения задач двумерной диагностики сред с учетом поглощения. Ставится задача нахождения одновременно двух функций: скорости и поглощения среды. Проводится математическое моделирование распространения ультразвуковых волн и сравнение с аналитическими методами. Работа проводится при финансовой поддержке РФФИ (грант РФФИ № 13-07-00824-а).

Выбрана скалярная математическая модель, адекватно описывающая все основные волновые эффекты распространение волнового поля в неоднородном трехмерном пространстве. Проведена постановка задачи как коэффициентной обратной задачи для трехмерного гиперболического уравнения с полным и неполным (отсутствуют измерения волнового поля с некоторых сторон от исследуемого объекта) набором экспериментальных данных. Разработаны итерационные методы решения 3D обратной задачи. Впервые выписано явное выражение для градиента функционала невязки в 3D для задачи с полным и неполным диапазоном данных. В задаче с неполными данными при вычислении градиента предложены приближенные методы задания граничных условий в сопряженной задаче на участках границы, где отсутствуют экспериментальные данные. Предложены эффективные численные итерационные алгоритмы градиентного типа решения 3D нелинейных коэффициентных обратных задач для гиперболического уравнения с полным и неполным диапазоном данных. Впервые предложена двухуровневая схема распараллеливания вычислений в трехмерных обратных задачах, обеспечивающая высокую эффективность программ вплоть до нескольких десятков графических процессоров. Создан комплекс программ решения коэффициентных обратных задач для трехмерных гиперболических уравнений с полным и неполным диапазоном данных на языке С/С++/OpenCL, масштабируемый на несколько десятков графических карт суперкомпьютера «Ломоносов», что для задач волновой томографии реализуется впервые в мировой практике. Показан практически линейный рост производительности вычислений при распараллеливании вычислений на GPU по источникам томографического эксперимента. Впервые продемонстрирована возможность численного решения нелинейных вычислительно сложных коэффициентных обратных задач для трехмерных гиперболических уравнений с полным и неполным диапазоном данных на суперкомпьютерах на графических картах для параметров близких к реальным значениям ультразвуковой томографии в медицине. Разработанные алгоритмы хорошо ложатся на структуру GPU суперкомпьютеров. Открывается возможность для проведения расчетов на мелких расчетных сетках размера порядка 500×500×500 точек по пространственным координатам и порядка 1500 точек по времени. Объём экспериментальных данных в задаче ультразвуковой томографии такого размера составляет порядка 5 Гбайт, а число вычисляемых значений ультразвукового поля на пространственно-временной сетке порядка ста миллиардов. Время расчетов 3D задачи на 24 графических процессорах суперкомпьютер «Ломоносов» составило около 3 ч. Модельные расчеты продемонстрировали возможность восстановления с высоким разрешением не хуже 2-3 мм не только формы неоднородности, но и с высокой точностью абсолютного значения функции скорости, что позволяет проводить дифференциальную диагностику тканей в медицине. Такие высокие результаты удается достичь впервые благодаря учету влияния дифракционных эффектов в волновой модели. Проведены модельные расчеты в 3D томографии рака молочной железы в случае неполного задания данных, когда источники и приёмники не могут располагаться на верхней границе области расчетов (где расположена грудная клетка). Показано, что вблизи участков границы, с отсутствующими экспериментальными данными, ухудшается сходимость регуляризирующих итерационных алгоритмов решения трехмерных обратных задач для гиперболических уравнений. Специальный выбор 3D томографической схемы, когда часть источников располагается близко к верхней границе позволяет получать реконструированные изображения с разрешением сравнимым с результатами реконструкции в случае полного задания томографических данных со всех сторон от объекта. Расчеты модельных задач показали, что в рассматриваемом диапазоне параметров в приложении к медицине разработанные алгоритмы эффективно решают нелинейную трехмерную обратную задачу в итерационных схемах с начального приближения v(x,y,z)=const. Методами математического моделирования проведены исследования по выбору центральной длины волны широкополосного импульса ультразвукового излучения источника. Впервые показано, что даже для сравнительно низкого диапазона частот ~0.3-0.5МГц (длина волны в воде порядка 5 мм) томографические методы обеспечивают достаточное для медицины разрешения ~2-3мм при контрасте по скорости в объекте <10-20%. Увеличение частоты не обязательно приведет к увеличению разрешения, поскольку возрастают ошибки измерений. Ошибки измерений с ростом частоты возрастают из-за увеличения поглощения излучения в объекте и увеличения технических сложностей реализации эксперимента. Показано, что для длины волны порядка 5 мм суммарный уровень погрешности входных данных на приемниках не более 5 – 10% позволяет получать реконструированное изображение с разрешением ~2-3мм. Частота оцифровки сигнала по времени на приемниках порядка 20 отсчётов на период основной частоты сигнала и количество уровней оцифровки сигнала на приемниках не менее 1024 являются приемлемыми параметрами приемников, позволяющими получать разрешение ~2-3мм.