Геометрические и аналитические методы в теории приближений и их приложения в теории функцийНИР

Geometric and analytic methods in approximation theory and their applications in the theory of functions

Источник финансирования НИР

грант РФФИ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 6 февраля 2019 г.-31 декабря 2019 г. Геометрические и аналитические методы в теории приближений и их приложения в теории функций
Результаты этапа: В задаче получения новых результаты о различных непрерывных выборках из операторов почти наилучших приближений в~новых терминах, в~частности опирающихся на свойства метрической функции, получена оценка минимального расстояния $\|x_R-x\|$ для точек $x_R$, расстояние до множества $M$ от которых равно $R$, в~случае следующего свойства метрической функции $r(x):=\varrho(x,M)>a$: $$\mathop{\overline{\lim}}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x\|}\geqslant f(r(x)).$$ Показано, что для любого числа $R>r(x)$ и всякого $x\in X$: $r(x)\geqslant a$ верна оценка: $$\inf\{\|x_R-x\|\mid r(x_R)=R \}\leqslant \int_{r(x)}^R\frac{dr}{f(r)}.$$ В банаховом пространстве $X$ рассматривается величина $J(X)=\sup\{\frac{R(M,X)}{\operatorname{diam}M} \mid M:0<\operatorname{diam}M<\infty\}$, где $R(M,X)=\inf\{R>0\mid M\subset B(z,R)\}$ -- чебышёвский радиус. Число $J(X)$ называют константой Юнга пространства $X$. Известно, что в~конечномерном гильбертовом пространстве $H$: $\dim H=m$ эта константа равна $J_m=J(H)=\sqrt{\frac{m}{2(m+1)}}$. В случае бесконечномерного гильбертова пространства $J_\infty=J(H)=\sqrt{\frac{1}{2 }}$. -- Для случая гильбертова пространства $\dim H=n\in \overline{\mathbb{N}}$, $n\geqslant 2$, получена оценка почти выпуклости аппроксимативно компактного множества $M\subset H$, образы метрической проекции $P_M$ на которое имеет диаметры, не превосходящие числа $\varepsilon>0$. А именно, если $\operatorname{diam} P_Mx\leqslant \varepsilon$ для всех $x\in H$: $\varrho(x,M)\geqslant a>\varepsilon J_{n-1}$, то $N=\operatorname{\overline{conv}}M\subset \overline{O_a(M)}$. В том случае число $a$ характеризует величину почти выпуклости множества $M$. Отсюда непосредственно вытекает следующее утверждение, которое уточняет недавний результат У.~Мура (2017~г.). Именно, если $\operatorname{diam}P_M(x) \leqslant\varepsilon$ для всех $x$: $\varrho(x,M)>\varepsilon J_{n-1}$, то $N=\operatorname{\overline{conv}}M\subset \overline{O_{\varepsilon J_{n-1}}(M)}$. Отметим, что полученная в результате выполнения проекта оценка почти выпуклости (радиус окрестности $M$) точна на классе всех аппроксимативно компактных подмножеств $M\subset H$, для которых $\operatorname{diam}P_M(x) \leqslant\varepsilon$ для всех $x\in H$. Полученная в ходе выполнения проекта техника позволяет для равномерно гладких и равномерно выпуклых пространств и замкнутых собственных подмножеств, являющихся конусом относительно точки $x_0$, метрическая функция $r(x)$ которых удовлетворяет условию $$\mathop{\overline{\lim}}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{r(x+\Delta x)-r(x)}{\|\Delta x\|}\geqslant \gamma_0^{-1}, $$ получить непрерывную выборку $\Phi:X\rightarrow M$ такую, что $\|\Phi(x)-x\|\leqslant \gamma_0\varrho(x,M)$ для всех $x\in M$. В задачах о непрерывных $\varepsilon$-выборках использованы как геометро-топологи\-ческие методы в случае абстрактных пространств и множеств, так и аналитические методы для конкретных функциональных пространств и конкретных приближающих множеств. Полученные результаты существенно опираются на ряд новых результатов И.~Г.~Царькова о свойствах множеств, допускающих существование непрерывной выборки из операторов наилучшего и почти наилучшего приближения. -- Изучена задача оценки расстояния от заданной точки $x\in X$ пространства до точки некоторого фиксированного значения max-расстояния до множества. Исходя из этих оценок получены оценки чебышёвских радиусов в~зависимости от поведения max-метрической функции, точнее, от максимальной скорости ее убывания. В~частности, эта задача решена для случая, когда диаметры множеств далеких точек равномерно ограничены. Изучению задачи последнего типа была посвящена недавняя работа У.~Мура, в~которой были поставлены вопросы точности оценок почти выпуклости приближаемого множества. -- Установлены геометро-топологические свойства особенностей множества $M\subset \mathbb{X}$ для расширенного пространства $\mathbb{X}:=X\cup \{\infty\}$. В этом случае элемент $\infty$ по определению считается особой точкой любого подмножества. Пусть $X$ -- конечномерное пространство, а $E$ -- множество всех особых точек в~ $\mathbb{X}\setminus M$ множества $M$. Тогда $M_E:=M\setminus \operatorname{int}E$ является гомотопией $($ретракцией$)$ множества $(\mathbb{X}\setminus E)\cup M_E=(X\setminus E)\cup M_E$. Для любой компоненты связности $D$ $($множества $X\setminus M)$ множество всех особых точек $E_D $ из $ {{D}}$ для множества $ \partial D $ является многозначной полунепрерывной сверху ретракцией области $D$, и при этом во всех регулярных точках ее значения -- отрезки из $\mathbb{X}$, а в~точках $x\in E_D$ значения ретрагирующего отображения $F$ представляет собой объединение отрезков, для которых точка $x$ общая. При этом, если особое множество не содержит невырожденных отрезков, то отображение $F$ -- непрерывная однозначная ретракция. Если $M$ -- след $C^2$-гладкого многообразия, а $X$ -- пространство с модулем гладкости $2$-го порядка, то $E$ является гомотопией $($ретракцией$)$ $\mathbb{X}\setminus M.$ Если при этом $M$ -- гиперповерхность в~$X$ с замкнутым следом, то для любой компоненты связности $D$ множества $X\setminus M$ множество всех особых точек из $\overline{D}$ является гомотопией $($ретракцией$)$ множества~$\overline{D}$. Из этого утверждения вытекает, что для замкнутого непустого множества $M\subset X$, множество $E_D$ особых всех точек из связной компоненты $D$ множества $\mathbb{X}\setminus M$ для $\partial D$ является связным в~$\mathbb{X}$ множеством. В частности $E_D$ для ограниченной компоненты связности $D$ множества $X\setminus M,$ связно и непусто, и одноточечно $($в случае строго выпуклого $X)$ только, если эта компонента -- открытый шар. -- Получено описание гиперповерхностей, у которых особое множество имеет малую размерность по сравнению с размерностью объемлющего евклидового пространства. Точнее, опираясь на различные геометро-топологические свойства особого множества выводится в~частности следующее утверждение: Если $E$ -- связное особое множество размерности (топологической или по Хаусдорфу) $\leqslant k$ для непрерывной гиперповерхности $M\subset \mathbb{R}^n$, $n>2[k]$, тогда гиперповерхность $M$ выпукла и ее множество особых точек $E$ лежит по одну сторону от $M$ в~замыкании выпуклой компоненты $ \mathbb{R}^n\setminus M$. На основе полученных в ходе проекта результатов приводится примеры описания всех $C^1$-решений уравнения эйконала $|\nabla u|\equiv 1$ на областях $\Omega$ в~ $ \mathbb{R}^n$ $(n\geqslant 3)$, являющихся дополнением отрезка, луча или прямой. -- Решена задача отражения света в~пространствах с несимметричной нормой. На основе принципа Гюйгенса сформулирован принцип отражения~-- ``принцип трех плоскостей''. Построены различные примеры поверхностей-зеркал в~пространствах с несимметричной нормой, собирающие световой поток в точку, представленный разными по форме фронтами, в~условном ``фокусе''. В частности построены обобщенные ``параболоиды'' и ``эллипсоиды'', собирающие свет из бесконечно удаленного источника или соответственно из точечного источника в~``фокусе'' после первого отражения за одно и тоже время. -- Установлены связи обобщенной каустики и особого множества с областями постоянства количества локальных минимумов функ\-ции-расстояния, а также получено описание гиперповерхностей, у которых особое множество имеет малую размерность по сравнению с размерностью объемлющего евклидового пространства. -- В задаче изучения поведения особенностей решений $u(\,{\cdot}\,)$ уравнения эйконала $|\nabla u|=1$, $u|_{\partial \Omega}=0$ на области $\Omega\subset \mathbb R^n$ рассмотрены гладкие гиперповерхности, играющие роль поверхностей уровня возможного решения. Для таких поверхностей изучены особенности функции расстояния, поскольку известно, что локально с~точностью до константы и~знака гладкое решение уравнения эйконала представляется в~виде $f(x)=\rho(x,M)$, где $M$ лежит в границе~$\Omega$. В~конечномерном пространстве особое множество непустого замкнутого подмножества~$M$ определяется как замыкание множества точек неединственности метрической проекции на множество~$M$. Получена характеризация $C^1$-гиперповерхностей в~$\mathbb R^n$, представляющих решения уравнения эйконала, особым множеством которых является собственное подпространство произвольной размерности в~$\mathbb R^n$. В задаче описания класса гладких решений уравнения эйконала были использованы методы геометрической теории приближения, в частности методы установления локальной солнечности множества. С~этой целью дано описание области точек единственности, представляющих собой регулярные множества $R$ для данного множества $M$. На этих множествах при естественных условиях строгой выпуклости и гладкости пространства метрическая функция-расстояния $\rho(x,M)$ будет также гладкой. В случае, когда $M$ является поверхностью уровня решения уравнения эйконала показано, что функция $\pm\rho(x,M)+C$ локально гладким решением уравнения эйконала. Этот подход, предложенный И.\,Г.~Царьковым, является новым и перспективным, что, в частности, находит отражение в недавних работах И.\,Г.~Царькова и А.\,Р.~Алимова. -- В задаче об устойчивости чебышёвского проектора в~полиэдральных пространствах и о существовании липшицевых выборок из множества относительных чебышёвских центров получен следующий результат. В~полиэдральных конечномерных пространствах $Х$ для полиэдральных множеств $M$ установлена липшицевость относительного чебышёвского проектора (относительно полиэдрального множества $V$), представляющего собой множество относительных (относительно $V$) чебышёвских центров на классе всех ограниченных непустых множеств, снабженном метрикой Хаусдорфа, а также липшицевость селекции из этого относительного чебышёвского проектора. Этот вопрос был поставлен А.~Л.~Брауном около 30 лет назад и долго оставался нерешенным. Задача о чебышёвском центре и относительном чебышёвском центре множества естественно связаны с~практическим случаем получения оптимальных оценок, когда, к~примеру, в~математической модели физический процесс представляется некоторым неизвестным элементом~$x$ пространства~$X$. Предположим, что из некоторых экспериментов или наблюдений известны некоторые оценки (возможно, с~ошибками) элемента~$x$ (к~примеру, $x$~содержится в~некотором множестве~$M$). При этом имеющейся информации обычно недостаточно, чтобы определить точку~$x$ точно. Элемент~$\widehat x$, наилучшим образом приближающий (представляющий) множество~$M$, называется \textit{чебышёвским центром множества}. Задачи о чебышёвских центрах и сетях имеют теоретическое и прикладное значение. В частности, задачи такого рода привели к понятию $\varepsilon$-энтропии, что в качестве одного из приложений позволило А.\,Н.~Колмогорову и В.\,М.~Тихомирову построить новое доказательство невозможности представления гладких функций суперпозициями функций меньшего числа переменных. Задачи устойчивости и единственности чебышёвского центра применяются в задачах селекции многозначных отображений, что позволяет получать результаты для дифференциальных включений и параметризации многозначных отображений. Эта тематика активно развивается в настоящее время (Е.\,С.~Половинкин, М.\,В.~Балашов, Г.\,Е.~Иванов, М. В. Балашов, Д. Реповш и~др.). Такого рода аппроксимации являются классическими задачами вычислительной геометрии и интересны как с теоретической точки зрения, так и в связи с многочисленными приложениями в задачах сотовой и космической связи, логистики, при построении множеств достижимости управляемых систем, а также в связи с вопросами оптимизации и аппроксимации оптимальных упаковок. В качестве следствия полученных в ходе проекта результатов вытекает недавний результат Ю.~Ю.~Дружинина о~существовании липшицевой выборки из чебышёвского проектора в конечномерном симметричном полиэдральном пространстве. Также обобщаются М.~Финцель и В.~Ли о существовании липшицевой выборкой из метрической проекции на полиэдральное множество в полиэдральном нормированном пространстве. -- В задаче об аппроксимативных свойствах множеств, у которых оператор метрической антипроекции является однозначным и устойчивым установлено, что если $M$~-- $\max$-аппроксимативно компактное подмножество линейного нормированного пространства у которого оператор $\max$-проекции (оператор антипроекции) $F_M$ однозначен на некотором множестве~$T$, то он непрерывен на~$T$. (Множество $\emptyset\ne M\subset X$ называется \textit{$\max$-аппроксимативно компактным множеством}, если для любой точки $x\in X$ и любой максимизирующей последовательности $(y_n)$ из~$M$ существует подпоследовательность $(n_k)$ такая, что $y_{n_k}\to y\in M$.) -- Показано, что если $M\subset X$, $x_0\in X$, $U$~-- окрестность точки~$x_0$. Предположим, что оператор $\max$-проекции $F_M$ однозначен и непрерывен на~$U$ и~точка $F_M(x_0)=:\{\hat y\}$ является точкой локальной компактности множества~$M$. Тогда $x_0$~-- точка $\max$-солнечности множества~$M$. Как следствие, получен следующий результат. Пусть $M$~-- локально компактное $\max$-аппроксимативно компактное множество и пусть оператор $\max$-проекции $F_M$ однозначен на некотором открытом множестве $U$. Тогда $M$~-- $\max$-солнце на~$U$. (Множество $M$ называется \textit{$\max$-солнцем} в~точке~$x_0$, если найдутся далекая точка $\hat y\in F_M(x_0)$ и число $\delta >0$ такие, что $ \hat y \in F_M(x)$ для любой точки $x\in \bigl[x_0, x_0+\delta (\hat y-x_0)\bigr)$. Множество $M$ называется \textit{$\max$-солнцем} на множестве $U$, если $M$ является $\max$-солнцем в~любой точке~$x_0\in U$.) -- В задаче устойчивости $\max$-аппроксимации получен следующий результат. Пусть $M$~-- локально компактное $\max$-аппроксимативно компактное множество и пусть оператор $F_M$ однозначен на множестве $T_r(M)$ для некоторого $r>0$. Тогда $M$~-- $\max$-солнце на~$T_r(M)$. Далее, пусть $M\subset X$, $x_0\in X$, $U$~-- окрестность точки~$x_0$. Предположим, что оператор $\max$-проекции $F_M$ является ацикличным и компактным на~$U$. Тогда $x_0$~-- точка локальной $\max$-солнечности множества~$M$. Также установлено, что если множество $M$ является $\max$-солнцем на всем банаховом пространстве, то $M$ одноточечно. В задачах об устойчивости оператора max-проекции важную роль играют новые теоремы о неподвижной точке для многозначных отображений с ацикличными значениями. -- Показано, что в~конечномерном банаховом пространстве замкнутое множество с~полунепрерывной снизу метрической проекцией обладает непрерывной выборкой из оператора почти наилучшего приближения. Хорошо известно, что такое множество является солнцем. При рассмотрении обратного вопроса об устойчивости приближения солнцами доказано, что строгое солнце в~конечномерном банаховом пространстве размерности не более~3 является $P$-солнцем, имеет стягиваемое множество ближайших точек и обладает непрерывной $\varepsilon$-выборкой из оператора почти наилучшего приближения для любого $\varepsilon > 0$. Получен ряд новых аппроксимативно-геометрических свойств множеств с~полунепрерывным снизу оператором метрической проекции. Исследование солнечных свойств множеств с непрерывной метрической проекцией в трехмерных нормированных пространствах опирается на недавний результат А.~Р.~Алимова, который показал, что в~широком классе конечномерных банаховых пространств (в~частности, во всех пространствах размерности $n\le 3$) замкнутое множество с~полунепрерывной снизу метрической проекцией является солнцем, обладает непрерывной выборкой из оператора наилучшего приближения, имеет стягиваемые пересечения с~шарами и его непустое пересечение с~любым замкнутым шаром является ретрактом этого шара. Этот результат частично усиливает классическую теорему Майкла о~селекциях для случая полунепрерывной снизу метрической проекции и невыпуклых множеств в~нормированном пространстве размерности $\le 3$. -- Установлен ряд новых свойств множеств с~непрерывной выборкой из почти наилучших приближений, получены приложения геометрической теории приближения к~вопросам выборок для множества $n$"=звенных ломаных, а также к~выборкам для $n$"=звенных кусочно полиномиальных функций и их обобщений. Введено новое понятия слабой связности множества, в качестве приложений получены теоремы о существовании непрерывных выборок из операторов почти наилучших приближений для абстрактных и классических приближаемых множеств. -- Получены точные оценки минимального собственного числа сингулярного оператора Штурма--Лиувилля на полуоси. Вычислена точная нижняя грань минимального собственного числа на различных классах потенциалах для сингулярного оператора Штурма--Лиувилля. Исследован спектр оператора $\mathbf{L}_q$ в пространстве $L^2(\mathbb{R}_+)$, задаваемого дифференциальным выражением $-y''+q(x)y$ и граничным условием $y'(0)=0$. Рассматриваются операторы $\mathbf{L}_q$ для потенциалов из класса $\mathbf{Q}$, которые по определению состоят из функций $q\in L_{\rm loc}(\mathbb{R}_+)$, $\lim_{x\to +\infty}q(x)=0$ с равномерными ограничениями. В~случае быстрого роста потенциала $q(x)$ свойства собственных чисел были исследованы в работах А.И.Козко (участник проекта). В случае дискретности собственных чисел оператора $\mathbf{L}_q$ соответствующие регуляризованные следы были вычислены в работах А.~И.~Козко, А.~С.~Печенцова и А.~Ю.~Попова. Вычислению или оценкам точной нижней грани минимального собственного числа на классе потенциалов для сингулярного оператора Штурма--Лиувилля посвящено большое количество работ в математике, физике и геологии. Свежие результаты в этой области получены S. Labovskiy, M.F. Getimane, B.L. Maultsby (2015), С.М. Лабовский, A. Lawrie, S.J. Oh, S. Shahshahani, P.D. Ancona, Q.~Zhang и др. При исследовании дифференциальных сингулярных операторов и нахождении точных значений для минимального собственного значения были использованы методы теории функций, методы спектральной теории операторов и вариационного исчисления. -- Получены результаты для неравенств Джексона в~пространствах с несимметричной нормой, исследованы аналоги двойственности и неравенства Минковского в пространствах с несимметричной нормой и со знакочувствительным весом. Интерес к аналитическим задачам теории приближения в пространствах с несимметричными нормами был вызван развитием теории односторонних приближений, основы которой были заложены в статьях Фройда и Ганелиуса (1956~г.), С. Н. Слугина (1957~г.), см. также книгу Н. П. Корнейчука, А. А. Лигуна, В. Г. Доронина. В дальнейшем были получены прямые и обратные теоремы для односторонних приближений с помощью усредненного модуля гладкости. Как заметил В.Ф.~Бабенко (1982) ``мостиком'' между наилучшими приближениями и наилучшими односторонними приближениями оказались приближения в пространствах с несимметричными нормами. Данное замечание породило новый всплеск интереса в 1980-2000-х годах к экстремальным задачам в несимметричных нормах. Прямые и обратные теоремы теории приближения составляют основу классических результатов в области теории приближения. Они нацелены на выявление свойств функций (обычно это гладкость), позволяющих оценивать величину наилучшего приближения и наоборот по величине наилучшего приближения выяснять некоторые свойства функции. В пространствах с несимметричной нормой бывает сложно понять как правильно определить гладкость функции (например, определить ее модуль гладкости), чтобы прямые и обратные теоремы состыковывались. -- В задаче Рамсея--Касса--Купманса исследована полная полезность экономической деятельности на конечном отрезке времени в~случае, когда функция полезности допускает с высокой точностью приближение линейной функцией. Приводится оценка наилучшего приближения функции полезности на отрезке с заданным отношением концов линейной функцией. Исследована полная полезность экономической деятельности в~модели, когда вложение в~производство экономического ресурса задано в~виде экспоненты, а функция полезности логарифм. Доказано существование и единственность оптимального показателя экспоненты и находится интервал в~котором содержится оптимальный показатель. В задаче о порядковых оценках поперечников весовых классов Соболева изучены порядковые оценки колмогоровских поперечников дискретных функциональных классов на дереве, порожденных весовым оператором суммирования в предположении, что скорость роста числа вершин есть степень логарифма (ранее изучался случай, когда скорость является экспоненциальной или степенной), а веса имеют вид произведения степенной функции (с~предельными показателями) и степени логарифма. Также была изучена задача об оценке колмогоровских поперечников пересечения весового класса Соболева на отрезке и единичного шара в весовом пространстве Лебега в пространстве $L_q$ для весов степенного вида. Исследована задача о колмогоровских поперечниках в пространстве $L_q[0, \, 1]$ классов Липшица на отрезке с фиксированными значениями в нескольких точках: $\tilde M = \{f\in AC[0, \, 1], \; \|\dot{f}\|_\infty \le 1, \; f(j/s)=y_j, \; 0\le j\le s\}$. Из известных результатов о поперечниках классов Соболева легко получить порядковые оценки с точностью до констант, зависящих от $q$ и $y_1, \, \dots, \, y_n$. Здесь получены порядковые оценки с точностью до констант, зависящих только от $q$. Задача сводится к оценке поперечников пересечения двух конечномерных множеств: куба и произведения октаэдров с некоторыми весами. Если заменить куб на шар пространства $l_p^n$, то получается дискретизация задачи о поперечнике пересечения класса Соболева и класса функций с ограничениями на вариацию: $M = \{ f\in AC[0, \, 1]\colon \|\dot{f}\|_{L_p[0, \, 1]}\le 1, \|\dot{f}\|_{L_1\left[ (j-1)/s,\ \ j/s\right]} \le \varepsilon_j/s,\ \ 1\le j \le s\}$. Для достаточно больших $n$ получены порядковые оценки поперечников этих классов с точностью до констант, зависящих только от $p$ и $q$. Оказывается, что если $p>q$ или $p>2$, то эти оценки имеют вид $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s)n^{-1}$, где $\varphi(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s) \to 0$ при $(\varepsilon_1, \, \dots, \, \varepsilon_s) \to 0$ (явные формулы для $\varphi$ приведены в тексте статьи). Если $p\le 2$ и $p\le q$, то оценки имеют вид $n^{-1}$ (то есть ограничения на вариацию оценку поперечников при больших $n$ не улучшают). Для доказательства оценок сверху используется результат Э.~М.~Галеева о пересечении конечномерных шаров. Для доказательства оценок снизу обобщается результат Е.Д.~Глускина о поперечнике пересечения куба и октаэдра. Задача об оценках поперечников невесовых классов Соболева берет начала с работы А.Н. Колмогорова 1936 года и впоследствии стала изучаться С.Б. Стечкиным, В.М. Тихомировым, Р.С. Исмагиловым, Б.С. Кашиным, В.Е. Майоровым, Ю.И. Маковозом, Е.Д. Глускиным, Э.М. Галеевым, В.Н. Темляковым, А.П. Буслаевым и многими другими. Ряд полученных в ходе проекта результатов опирается на теорему вложения Р.~Ойнарова (1993~г.). Совместно с Ю.\,В.~Малыхиным исследована возможность восстановления ридж-функции вида $g(x)=f(\langle a,x\rangle) $ на $n$-мерном единичном шаре, где функция $f$ аналитическая в круге достаточно большого радиуса и ограничена там по модулю. Предполагается, что сама функция $f$ и единичный вектор $a$ нам не даны. Доказано, что существует выборка точек в единичном шаре такая, что по данным нам измерениям значений функции $g$ с~достаточно малыми погрешностями можно восстановить с заданной точностью функцию $g$~на всем шаре. -- Исследовалась задача Колмогорова о нахождении наибольшего значения $k$-ой производной функции при заданных ограничениях на норму функции и норму её $n$-ой производной в равномерной метрике, а также тесно связанная с этой задачей проблема приближенного восстановления $k$-ой производной функции. Известно, что в этой задаче восстановления наилучшая формула определяется последовательностью коэффициентов квадратурной формулы и и эта последовательность представляется как сумма $([n/2]-1)$ геометрических прогрессий со знаменателями q, удовлетворяющих неравенствам $0<q<1$. Получена рекуррентная формула для полиномов, корнями которых являются знаменатели $q$ этих геометрических прогрессий, а также величины $1/q$. При получении новых соотношений между коэффициентами в наилучших формулах восстановления производных решении возникающих задач планируется применять теорию экстремальных задач, в частности, выпуклых задач, теорию обобщённых сплайнов на числовой прямой, теорию разностных уравнений, методы характеристических функций. При нахождении новых точных неравенств для производных колмогоровского типа на полупрямой, к примеру, $\|x^{(k)}(\cdot)\|_{L_q(T)}\leqslant K\cdot\|x(\cdot)\|_{L_p(T)} ^\alpha\|x^{(n)} (\cdot)\|_{L_r(T)}^\beta$, $x(\cdot)\in\mathcal{W}_{p,r}^n(T)$, где $T$ -- это прямая $\mathbb{R}$ или полупрямая $\mathbb{R}_-$, $n,k$ -- неотрицательные целые числа, $k<n$, и исследования свойств экстремальных функций в этих неравенствах будут использованы методы теории функций, специальные методы вариационного исчисления и теории экстремальных задач.
2 1 января 2020 г.-31 декабря 2020 г. Геометрические и аналитические методы в теории приближений и их приложения в теории функций
Результаты этапа: В 2020 г. в ходе второго этапа Проекта получены следующие результаты \textbf{1.} В задаче исследование колмогоровских, линейных и гельфандовских поперечников функциональных весовых классов и их порядков, в задаче оценок поперечников пересечений весовых классов Соболева и в задаче оценки поперечников пересечений весовых классов Соболева найдены порядковые оценки колмогоровских и линейных поперечников весовых классов Соболева, с ограничением на старшую и нулевую производные, на области в $d$-мерном пространстве с условием Джона. При этом рассматриваются веса, представляющие собой функции расстояния до $h$-подмножества границы (для случая области с условием Джона) и степеней от $1+|x|$ (для случая $d$-мерного пространства). Стоит отметить, что примерами $h$-множеств могут быть липшицевы поверхности или некоторые фрактальные множества (например, канторово множество, кривая Коха). Весовые классы задавались ограничением на весовую $p_1$-норму вектора частных производных порядка $r$ и весовую $p_0$-норму функции. Поперечники оцениваются в весовом пространстве $L_q$. Сравнение полученных результатов с мировым уровнем. Оценки поперечников весовых классов Соболева в весовых пространствах $L_q$ изучались с 1970-х годов в работах Х. Трибеля, П.И. Лизоркина, М.О. Отелбаева, К. Мынбаева, М.С. Айтеновой, Л.К. Кусаиновой. Весовые классы Соболева определялись ограничением на $p$-норму старшей и нулевой производной (показатель $p$ один и то же). В работе Х. Трибеля область имела липшицеву границу, веса были степенями расстояния до границы. В работах П.И. Лизоркина, М.О. Отелбаева, К. Мынбаева, М.С. Айтеновой, Л.К. Кусаиновой для весов общего вида были получены верхние и нижние оценки поперечников, но в некоторых областях параметров $(p, q)$ верхняя оценка не совпадала с нижней (например, для линейных поперечников при $1<p<2<q$). В монографии К. Мынбаева и М.О. Отелбаева, помимо общих весов, рассматривался пример, когда область совпадала с $d$-мерным пространством, а веса имели вид степени $1+|x|;$ при $1<p<2<q$ верхняя и нижняя оценки линейных поперечников также различались. В 1998 году в работе И.В. Бойкова изучалась задача о колмогоровских поперечниках весовых классов Соболева с ограничениями на производные от 0 до $r$; у производных порядка от $l+1$ до $r$ задавалось условие на весовую $p$-норму, у производных порядка от 0 до $l$ задавалось ограничение на равномерную норму. Функции рассматривались на кубе, веса были степенями расстояния до границы куба. В работах Х. Трибеля и И.В. Бойкова условия на параметры, задающие веса, были такими, что порядки поперечников зависели только от ограничений на старшую производную. Помимо этого, исследовалась задача о поперечниках весовых классов Соболева с ограничениями только на старшую производную (Д. Левиатан, В.Н. Коновалов, Я. Ланг, М. Лифшиц и В. Линде, В.Д. Степанов, Е.Н. Ломакина, Х. Трибель, Т. Мит, А.А. Васильева). Полученные результаты являются новыми, соответствуют мировому уровню и содержат серьезные уточнения и обобщения полученных ранее теорем о линейных поперечниках весовых классов Соболева на $d$-мерном пространстве (в Проекте получены порядковые оценки в области $1<p<2<q$ и рассмотрен более общий случай, когда ограничение на старшую и нулевую производную берутся в разных метриках). \textbf{2.} В задачах, связанных c изучением свойств локальной солнечности и чебышёвости множеств в геометрической теории приближений и приложениях геометрической теории приближений к исследованию уравнения эйконала и геометрической оптике, получены следующие результаты. Для множества точек локальной солнечности и дополнения этого множества изучены их топологические, размерностные и аппроксимативные свойства. Для изучения $C^1$-гладких решений уравнения эйконала исследована взаимосвязь геометрии гиперповерхностей и множества особых точек ее метрической функции по обе стороны этой гиперповерхности. Решена вспомогательная задача описания особых множеств гиперповерхностей в терминах их размерностных и топологических свойств. Сравнение полученных результатов с мировым уровнем. Исследования различных структурных и аппроксимативных свойств чебышёвских множеств, солнц и близких к ним множеств в нормированных пространствах начались с работ Н.В. Ефимова, С.Б. Стечкина, В. Кли и далее были продолжены в работах Л.П. Власова, В.А. Кощеева, С.В. Конягина, И.Г. Царькова, В.С. Балаганского, А. Брауна, Д. Вулберта, Х. Беренса и Л. Хетцельта и других. Ряд ответов на актуальные и давно стоящие вопросы в этой области был получен участниками Проекта (И.Г. Царьков, А.Р. Алимов). Позже эти вопросы получили развитие при рассмотрении различных обобщений чебышёвских множеств и солнц. Отметим, что последнее важно для теории приближений в функциональных пространствах в случае рассмотрения бесконечномерных пространств. Изучение этих объектов в конечномерном случае дает важные приложения для геометрической оптики, а в более общем случае -- для изучения уравнений Гамильтона--Якоби. Важные приложения лежат в области описания всех гладких решений уравнения эйконала в зависимости от геометрии области, на которой это уравнение рассматривается. Однако на сегодняшний день в этой задаче было получено совсем немного новых результатов (обзор ряда нерешенных задач в этой области дается в статье Ж.Б. Хириарт-Урутти). В ходе работ над Проектом найдено решение для ряда классических задач, содержащихся в работе Хириарт-Урутти, а также получены существенные дальнейшие продвижения и обобщения. \textbf{3.} В задачах, связанных с приложениями к дифференциальным уравнениям и специальным задачам математической экономики, получены следующие результаты. Найдена точная нижняя грань собственных значений сингулярного оператора Штурма-Лиувилля на классе функций, задаваемых в терминах потенциала для функций из класса пересечения $L^2$ и $C^1$ на полуоси. При решении задач Проекта получены результаты междисциплинарного характера. Получены приложения методов и теории оптимального управления, экстремальных задач и дифференциальных систем к исследованию экономическо-математической модели Рамсея--Касса--Купманса. Исследована полная полезность экономической деятельности в некоторой модели, когда вложение в производство экономического ресурса задано в виде экспоненты, а функция полезности -- в виде логарифма. Доказано существование и единственность оптимального показателя экспоненты и найден интервал, в котором содержится оптимальный показатель. В несимметричных пространствах и в пространствах с знакочувствительным весом получены аналоги неравенств Минковского, а также теорем двойственности и прямых теорем теории приближений. Сравнение полученных результатов с мировым уровнем. Интерес к задаче нахождения собственных значений для оператора Штурма--Лиувилля обусловлен их исследованиями Вейля и Титчмарша. Впоследствии исследования были продолжены в работах B.A. Марченко, Б.M. Левитана и других математиков. Из современных исследований отметим работы В.А. Винокурова, В.А. Садовничего (2003), Ю.В. Егорова, В.А.Кондратьева (1996), С.С. Ежака (2005), О.В. Мурышкина (2005), E.С. Карулиной (2011) и других. Так В.А. Винокуров и В.А. Садовничий в 2003 г. решили вопрос о границах изменения собственного значения при изменении потенциала на отрезке [0, $l$] с граничными условиями $y(0) = y(l) = 0$ при условии ограниченности интеграла от потенциала. В частности, ими были получены оценки на минимальное собственное значение. В работе Ю.В. Егорова и В.А. Кондратьева (1996) был разработан метод вычисления минимального собственного значения на отрезке для задачи с дополнительным ограничением на потенциал (неотрицательность $q$). В работах С.С. Ежака (2005), E.С. Карулиной (2011) были полученные оценки на минимальное собственное число для задачи Штурма--Лиувилля на отрезке с дополнительным условием на потенциал (неотрицательность либо неположительность $q$); в ряде случаев Ежак и Карулина получили точные значения минимального собственного числа на классе функций с интегральным условием и дополнительным ограничением на потенциал (неотрицательность либо неположительность функции $q$). На данный момент остаются нерешенными подобные задачи с равномерным ограничением на потенциал в различных весовых классах. В Проекте получены существенные продвижения для некоторых из этих задач. Одномерные макромодели экономической динамики основаны на классических работах Рамсея, Касса, Купманса, Солоу. Развитие этих моделей представлено работами В.Л. Макарова, И.В. Романовского, A.M. Рубинова, В.З. Беленького, В.Д. Матвеенко. Отдельно следует выделить работы Л.С. Понтрягина, внесшего большой вклад в разработку инструментальных методов математического анализа экономики. В рамках проведенных исследований установлено, что в задаче Рамсея --- Касса -- Купманса, где рассматривается математическая модель, определяемая функцией полезности $U$, функцией $f$, выражающей зависимость производства продукта от капитала и ставкой временного предпочтения $\rho$, должен иметься некоторый уровень начального экономического ресурса, которым заведомо необходимо обладать, приступая к экономической деятельности. При этом в предположении, что функция $U$ на области значений, принимаемых в исследуемом процессе вложения капитала ``достаточно хорошо'' приближается линейной функцией, а функция $f$ имеет монотонно стремящуюся на бесконечности к нулю производную, желательно, чтобы начальный экономический ресурс $K_0$ превосходил (предпочтельно в несколько раз) величину $K=\kappa_0$, являющуюся корнем уравнения $f'(K) =\rho$. Исследованию математической модели экономического роста посвящено много работ, начиная с классиков экономики. Отметим серьёзный вклад в модели экономического роста, полученный Солоу и Свен (1956). Работа Рамсея значительно опередила своё время и лишь спустя десятилетия получила развития начиная с работ Касса (1956) и Купманса (1965). С этого момента начался бурный всплеск интереса к этой тематики. Отметим работу King, Robert и Sergio Rebelo ``Transitional Dynamics and Economic Growth in the Neoclassical Model'' (1993), в которой было показано, что использование модели Рамсея--Касса--Купманса не состоятельно для определённых параметров в функции полезности. С этого момента становится понятно, что нужно аккуратнее относится ко всем параметрам встречающимся в рамках этой математической модели. Затем следуют цикл работ посвященных различным параметрам данной модели. Мы продолжили данное исследование и получили оценки в рамках которых модель Рамсея-Касса-Купманса согласуется с эмпирическими результатами. Полученные результаты являются новыми и соответствуют мировому уровню. \textbf{4.} В задачах, связанных с исследованием аппроксимативных свойств множеств, получены следующие результаты. Изучены множества с непрерывной выборкой из множества наилучших и почти наилучших приближений. Классическая теорема Майкла о непрерывной селекции полунепрерывных снизу отображений обобщена на случай метрической проекции в конечномерных нормированных пространствах без априорных предположениях об образах (в самой теореме Майкла отображение предполагается выпуклозначным). Доказано существование непрерывных выборок из оператора почти чебышёвских относительных центров в конечномерных полиэдральных пространствах, изучены свойства метрической проекции, определяющие их солнечность (понятие солнца является эквивалентной формулировкой известного критерия Колмогорова ближайшего элемента). Опираясь на известные результаты для солнц $V$, доказывается существование непрерывных выборок из оператора почти чебышёвских (относительно $V$) центров и точек для некоторых классических пространств. В пространстве $\ell^\infty_n$ получена характеризация множеств с непрерывной (полунепрерывной снизу) метрической проекцией в терминах аппроксимативно-геометрических свойств их пересечений с координатными гиперплоскостями. Найдена геометрическая характеризация чебышёвских множеств и солнц в трехмерных полиэдральных пространствах с цилиндрической нормой. Охарактеризованы трехмерные пространства, в которых любое замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией монотонно линейно связно. Показано, что в трехмерных полиэдральных пространствах с цилиндрической нормой замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией является строгим солнцем. Охарактеризованы конечномерные пространства, в которых всякое замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией выпукло. Сравнение полученных результатов с мировым уровнем. Исследование различных структурных и аппроксимативных свойств чебышёвских множеств, солнц, строгих солнц, и близких к ним множеств в нормированных пространствах началось с работ Н.В. Ефимова, С.Б. Стечкина, В. Кли; их исследования были продолжены Л.П. Власовым, Б. Брозовским, В.А. Кощеевым, С.В. Конягиным, И.Г. Царьковым, В.С. Балаганским, А.В.Мариновым, А.Л. Брауном, Д. Вулбертом, Х. Беренсом, Л. Хетцельтом, П.А.Бородиным, К.С.Шкляевым и многими другими. Ряд ответов на актуальные и давно стоящие вопросы в этой области был получен участниками проекта (И.Г. Царьковым и А.Р. Алимовым). Отметим, что знание такой аппроксимативно-геометрической характеристики множества как солнечность и локальная солнечность имеет особенно большое значение в теории приближений в функциональных пространствах при рассмотрении бесконечномерных пространств. В конечномерном же случае изучение этих объектов дает важные приложения для геометрической оптики, а в более общем случае -- для изучения уравнений Гамильтона--Якоби. По этой теме участниками Проекта И.Г. Царьковым и А.Р. Алимовым были опубликованы два обзора в УМН 71:1(427), с. 3-84 (2016), УМН, 74:5(449) (2019), 3--82, а также две монографии ``Геометрическая теория приближений. Часть I. Классические понятия и конструкции приближения множествами. Часть II. Приближения классами множеств, дальнейшее развитие основных вопросов геометрической теории приближений'' (Москва, Онтопринт, 2017, 2018 гг.). В настоящее время готовится английское издание монографии. Полученный в Проекте результат о характеризации пространств, в которых всякое замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией выпукло, развивает и дополняет классические теоремы B.И. Бердышева и A. Брондстеда (1966 г.), A. Брауна (1980 г.) и И.Г. Царькова (1984 г.) о характеризации пространств, в которых всякое чебышёвское (ограниченное чебышёвское) множество выпукло. Вопрос о характеризации пространств, в которых любое чебышёвское множество (замкнутое множество с полунепрерывной снизу метрической проекцией, солнце, строгое солнце) монотонно линейно связно раньше не рассматривался. Все полученные результаты являются новыми, соответствуют мировому уровню и дают новый аппарат в изучении аппроксимации абстрактных и конкретных множеств с приложениями к задачам вычислительной математики, в нелинейном анализе, в теории многозначных отображений и к задачам геометрической оптики. \textbf{5.} В задачах, связанных с исследованием неравенств типа Колмогорова для производных, получены следующие результаты. Разработан метод оценки равномерной нормы старшей производной с целью восстановления младших производных. На основе предложенного метода построен алгоритм и его программная реализация для решения данной задачи и задачи восстановления младших производных по приближенно заданной функции. Сравнение полученных результатов с мировым уровнем. Задача о восстановлении промежуточной производной и тесно связанная с ней задача А.Н. Колмогорова о неравенствах для производных в равномерной метрике состоит в нахождении наибольшего возможного значения производной порядка $r$ в некоторой заданной точке при заданных ограничениях на числовой прямой на значения самой функции и на значения её производной более высокого (чем $r$) порядка, что имеет важные приложения в вычислительной математике. Эта задача была успешно решена А.Н. Колмогоровым. В дальнейшем она неоднократно обобщалась многими авторами, в частности, для более подробного изучения её прикладного аспекта -- задачи о восстановлении производной. Ряд результатов в этой задаче связан с именами Штейна, Харди, Литтльвуда, Полиа, Стечкина, Тихомирова, Тайкова, Габушина, Ландау, Арестова, Фуллера, Буслаева, Магарил-Ильяева и др. Изучение этой задачи с целью построения более простых и новых методов обусловлено необходимостью продвижения в более сложных и общих задачах данного направления. В задаче Колмогорова о нахождении наибольшего значения $k$-ой производной функции при заданных ограничениях на норму функции и норму её $n$-ой производной в равномерной метрике, а также в тесно связанной с этой задачей проблемой приближенного восстановления $k$-ой производной функции, известно, что наилучшая формула в задаче восстановления определяется последовательностью коэффициентов квадратурной формулы и эта последовательность представляется как сумма $([n/2]-1$) геометрических прогрессий со знаменателями $q$, удовлетворяющих неравенствам $0<q<1$. Ранее в ходе Проекта была получена рекуррентная формула для полиномов, корнями которых являются знаменатели $q$ этих геометрических прогрессий. В этой задаче А.С. Кочуров (участник Проекта) получил ряд неравенств типа Колмогорова на прямой и на полупрямой, исследовал их связь с классическим экстремальным принципом Лагранжа и получил ряд новых результатов о связи нормы функции и ее производной (см. A. S. Kochurov, ``Inequalities between the norms of a function and its derivatives'', Eurasian Math. J., 7:1 (2016), 28--49). Близкая к этой тематике задача также недавно рассматривалась в работе А.С. Кочуров, В.М. Тихомиров, ``Об экстраполяции полиномов с действительными коэффициентами в комплексную плоскость'', Матем. заметки, 106:4 (2019), 543--548. Все полученные результаты в этой задаче являются новыми и соответствуют мировому уровню. \textbf{6.} В теме, связанной с восстановлением функций по неточным измерениям, были начаты исследования (вместе с Т.И. Зайцевой и Ю.В. Малыхиным) по задаче восстановления достаточно регулярных ридж-функций по неточным измерениям значений на конечном множестве точек. Был предложен эффективный алгоритм восстановления в случае аналитических ридж-функций. Тем самым, показано отсутствие известного ``проклятия размерностей'' в этой ситуации. Данная проблематика относится к теории восстановления функций по неточным измерениям. По-видимому, первые работы в этом направлении относятся к 50-м годам 20 века, в которых рассматривались вопросы восстановления классов гладких или даже аналитических функций одной или нескольких переменных. В процессе развития теории, а также в связи с приложениями возник вопрос о зависимости от размерности пространства количества измерений значений неизвестной функции из класса достаточных для её восстановления с заданной точностью. Если эта зависимость является экспоненциальной, то говорят о проклятии размерности (curse of dimensionality). Результаты относительно существования алгоритмов восстановления с малым числом измерений значения функции (скажем, полиномиально зависящим от размерности пространства) или, наоборот о том, что любой алгоритм требует большого (экспоненциального) числа измерений относятся к активно развивающейся в настоящее время теории ``Information-based Complexity''. Подобные вопросы применительно к восстановлению ридж-функций рассматривались рядом авторов, начиная с A. Cohen, I. Daubechies, R. DeVore, G. Kerkyacharian, D. Picard (2012), в дальнейшем этой задачей занимались H. Tyagi, V. Cevher (2014), S. Mayer, T. Ullrich, J. Vybiral (2015), B. Doerr, S. Mayer (2019), M. Fornasier, K. Schnass, J. Vybiral (2019) и другие. Ими были получены как результаты о том, что имеет место проклятие размерностей, так и о его отсутствии (но при дополнительных предположениях относительно вектора, задающего ридж-функцию, либо при некоторых дополнительных условиях на поведение внешней функции в окрестности начала координат). В ходе Проекта полиномиальный алгоритм восстановления удалось построить для достаточно естественного класса аналитических функций и без априорных ограничений на вектор. Для построения алгоритма было предложено (вероятно впервые в этой тематике) применять порядковые статистики. Точнее, производится выбор некоторого числа случайных направлений и вдоль каждого из них берется равномерная сетка. Применяя недавний результат Demanet и Townsend строится экстраполяция посредством подходящего полинома по данным измерений данной ридж-функции на этой сетке. Далее, развивается теория, позволяющая посредством анализа свойств семейства полученных полиномов (каждый полином отвечает своему направлению) контролировать порядковые статистики модулей скалярных произведений неизвестного нам вектора, задающего ридж-функцию, с выбранными нами векторами направлений. Тем самым, применяются методы теории функций комплексного переменного, теории аппроксимации (интерполяция полиномами), теории вероятностей и математической статистики. Все полученные результаты в этой задаче являются новыми и соответствуют мировому уровню.
3 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Геометрические и аналитические методы в теории приближений и их приложения в теории функций
Результаты этапа: В 2021 г. получены следующие результаты. Решена задача о поперечниках и вложении весовых функциональных классов на многомерных областях. Актуальность этого направления связана, в частности, c многочисленными приложениями к дифференциальным уравнениям c переменными коэффициентами и численным методам. Окончательно решена давно стоящая задача о колмогоровских $n$-поперечниках пересечения конечномерных шаров размерности $N$ при $n\le N/2$. Полученный результат содержит в качестве частного случая при $n=N/2$ известный результат Э.M. Галеева. Получены приложения в задаче о поперечниках пересечения некоторых весовых соболевских классов. Изучена задача об оценках колмогоровских поперечников двух весовых классов Соболева на области, удовлетворяющей условию Джона, в некоторых не изучавшихся ранее случаях при условии, что весовые функции являются функциями расстояния до $h$-подмножества границы. Найдены порядки поперечников. Впервые введено понятие равномерно выпуклого пространства c несимметричной нормой и несимметричной полунормой. Ho основе этого понятия получены различные классические результаты: об аппроксимативной единственности выпуклых замкнутых множеств, о непустоте пересечения последовательности выпуклых замкнутых множеств, о чебышёвских центра ограниченных множеств, а также получены различные результаты о солнцах в таких пространствах. Задачи, относящиеся в несимметричным приближениям, имеют давнюю историю, но в связи c новыми междисциплинарными постановками выходят на новый уровень. Самые привычные закономерности и утверждения, имеющие место в симметричных пространствах, в случае несимметричных пространств становятся неочевидными или даже неверными. Основную сложность при работе c $T_1$-несимметричными пространствами представляет собой отсутствие метризуемости их естественной $T_1$-топологии. Как всегда, главными являются вопросы существования, единственности и устойчивости наилучшего приближения. В настоящее время появилось много работ по вычислительной математике, экономике, геометрической оптике и дифференциальным уравнениям, в которых используются несимметричные выпуклые положительно однородные функционалы (в нашей терминологии -- несимметричные нормы). При исследовании солнц доказано, что в полиэдральных конечномерных пространствах метрическая проекция на строгое солнце имеет клеточноподобные значения. В задаче о связности солнц построен пример трехмерного несимметрично нормированного пространства, в котором имеется несвязное солнце, а также построен пример конечномерного полиэдрального нормированного пространства, содержащего солнце, пересечение которого c некоторым замкнутым шаром несвязно. Тем самым решены две классические задачи геометрической теории приближений. Доказано, что в полиэдральных конечномерных пространствах метрическая проекция на строгое солнце имеет клеточноподобные значения. В задаче о связности солнц пострен пример трехмерного несимметрично нормированного пространства, в котором имеется несвязное солнце, а также построен пример конечномерного полиэдрального нормированного пространства, содержащего не $B$-связное солнце. Установлено, что в безатомарном пространстве $L^1(\mu)$ всякое монотонно линейно связное множество выпукло; аналогичное утверждение выполнено также для ограниченно компактных солнц в $L^1$. Проблема выпуклости конечномерных чебышёвских множеств связана c задачей о форме сечений единичного шара конечномерными плоскостями. Для любого $n\in N$, показано, что в пространстве $C(Q)$, $\operatorname{card} Q\ge n+1$, существует конечномерное подпространство размерности $n$, любой сдвиг которого на вектор из внутренности единичного шара $B$ пространства $C(Q)$ пересекает шар $B$ по негладкому множеству. Аналогичная задача также решена для пространства $L^1(D,\mu)$ $(D$ -- область в $\bR^n$, $\mu$ -- неатомарная $\sigma$-конечная мера). Показано, что если $\ell_0$ -- произвольное конечномерное подпространство в $L^1(D)$, $\dim \ell\geqslant 1$, то найдется всюду плотное в единичном шаре $B\subset L^1(D)$ множество его сдвигов, пересекающих единичную сферу пространства $L^1(D)$ по точкам ее гладкости. Исследована зависимость функций капитала (ресурса) и потребления в экономической модели Рамсея--Kacca--Купманса в случае, когда сбережение является тождественной постоянной. В сделанных предположениях система дифференциальных уравнений, описывающая эволюцию рассматриваемой экономической модели, решена в квадратурах. На основании полученного решения найдены оценки сверху функции потребления. Исследована полная полезность экономической деятельности. В случае производственной функции Кобба--Дугласа и экономического ресурса $K(t)=K_0e^{-\lambda t}$ доказано, что показатель экспоненты $\lambda$, доставляющий максимум полной полезности, находится в определенном интервале. В задачах, связанных c исследованием неравенств типа Колмогорова для производных, получены следующие результаты. В задаче восстановления производной порядка $k$ функции $f(t)$ по приближённо известным значениям этой функции в узлах сетки определяющую роль в построении наилучшей формулы восстановления играют два параметра. Первый параметр -- это погрешность $\delta$, c которой известны значения функции, обычно он задаётся вместе c таблицей приближённых значений функции в узлах. Второй параметр -- это ограничение $\Delta$ на норму так называемой старшей производной (порядка $n$, $n>k$) функции $f(t)$. Известно, как c помощью этих констант выбрать оптимальную формулу восстановления $k$-ой производной. Такой подход к задаче восстановления производных является общепризнанным, он разработан во 2-й половине XX-го века. Ho часто второй параметр $\Delta$, который определяет формулу восстановления, не может быть локализован заранее и даже по порядку подходящее для него значение неизвестно. Предлагается подход к получению приближённой оценки параметра $\Delta$, основанный на анализе приближённых значений функции $f(t)$ в узлах. Если такая оценка по порядку совпадает c нормой производной порядка $n$, то построенная c её помощью формула приближённого восстановления $k$-ой производной также оптимальна по порядку. В теме, связанной c восстановлением функций по неточным измерениям, для достаточно естественного класса (внешняя функция -- аналитическая в прямоугольнике, окружающем отрезок $[-1,1]$ и ограничена в нем) pидж-функций на многомерном единичном шаре построен вероятностный полиномиальный алгоритм восстановления в предположении достаточно малых по величине ошибок измерений. Указанный алгоритм требует всего лишь на логарифмическую поправку большего количества измерений чем размерность. Тем самым, получено серьёзное продвижение в задаче, которой занимался рядом авторов, таких как A. Cohen, I. Daubechies, R. DeVore, G. Kerkyacharian, D. Picard (2012), H. Tyagi, V. Cevher (2014), S. Mayer, T. Ullrich, J. Vybiral (2015), B. Doerr, S. Mayer (2019), M. Fornasier, K. Schnass, J. Vybiral (2019) и другие. Из их результатов следует, что для функций конечной гладкости как правило имеет место проклятие размерностей. В тех ситуациях, где его удавалось преодолеть это происходило при дополнительных предположениях относительно вектора, задающего pидж-функцию, либо при некоторых дополнительных условиях на поведение внешней функции в окрестности начала координат. Нам же удалось для достаточно естественного класса аналитических функций и без априорных ограничений на вектор, построить полиномиальный алгоритм восстановления. Развит новый вероятностный подход к задачам восстановления pидж-функций, основанный на введенном авторами понятии вложения функций.

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".