Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2021-2025НИР

Optimization, Issues of analysis, Ordinary Differential Equations, Partial Differential Equations, applied math 2021-2025

Источник финансирования НИР

инициативный

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2021
Результаты этапа: 1)Для динамических систем на графах с дискретным временем разработан метод редукции любой системы к нескольким неприводимым. Для неприводимых систем доказано существование инвариантных функций Ляпунова. Представлен алгоритм точного вычисления показателя Ляпунова. Построена единая теория устойчивости дискретно-непрерывных линейных систем с переключениями. С ее помощью получено решение известной задачи об устойчивости системы с заданным минимальным интервалом между переключениями (dwell time). Найдены методы нахождения ближайших устойчивой и неустойчивой систем, которые применены к получению принципиально нового подхода к решению известной задачи теории графов о поиске максимального ацикличного подграфа. 2)Построены оптимальные методы восстановления решений задачи Дирихле для уравнения теплопроводности по неточным исходным данным. Поставлены и решены серии задач оптимального восстановления, связанные с построением оптимальных методов, точных на некоторых подпространствах. 3)Получено математическое решение обратной задачи магнитоэнцефалографии, т.е. задачи определения координат, ориентации и величины электрических диполей в нейронах головного мозга по данным измерений магнитного поля на поверхности головы. Математически дело сводится к изучению системы интегральных уравнений, соответствующих закону Био-Савара. 4)Изучена задача граничной стабилизации решений уравнений гидродинамики для внешних двумерных областей. Исследованы свойства преобразований Вебера-Орра: найдено их ядро, доказаны неравенства Бесселя, равенства Планшереля и теоремы обратимости. Для нестационарной задачи Стокса во внешности круга при помощи преобразований Вебера-Орра найдены точные решения. Получены граничные условия для вихревой функции, соответствующие условию прилипания для 2D уравнений Стокса и Навье-Стокса во внешних областях. Построены численные решения в двумерном и трехмерном случае.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2022
Результаты этапа: Получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения конечного семейства классов Соболева целой неотрицательной гладкости на области с условием Джона. Также расширен результат Э.М. Галеева об оценках колмогоровских поперечников пересечения конечного семейства периодических классов Соболева на отрезке (у них гладкость может быть и дробной). Кроме того, получены порядковые оценки колмогоровских поперечников пересечения конечного семейства весовых классов Соболева на области с условием Джона; порядки выписаны в терминах точки минимума некоторой кусочно-аффинной функции двух переменных. Изучалась задача о нахождении приближённой оценки равномерной нормы производной порядка r функции f по её значениям, заданным с погрешностью в точках ti = t1+(i-1)h. Её решение носит определяющий характер при выборе формулы оптимального восстановления промежуточной производной порядка s<r, которая сама имеет важное практическое значение в задаче интерпретации результатов эксперимента. По результатам исследования предложены рекомендации по выбору приближённой оценки производной, сделаны 3 выступления с докладами на эту тему, подготовлена к печати одна работа и готовится к печати вторая работа. Задача об инвариантных нормах Ляпунова решена полностью. Получена полная классификация инвариантных норм и разработан алгоритм их построения. Метод оптимизации спектрального радиуса представлен для случая семейств матриц, строки которых независимо выбираются из заданных компактных множеств. Полученный жадный алгоритм быстро сходится даже для матриц больших размерностей (несколько тысяч). По итогам работы в 2022 г. было опубликовано 4 статьи в журналах, индексируемых Scopus, из них 3 -- в журналах Q1. Сделаны доклады на четырех международных конференциях. Полностью завершено исследование дефектных интегральных преобразований Вебера с нетривиальным ядром. Получены равенства Парсеваля, неравенства Бесселя, формулы обращения, спектральное разложение. Изучены правила дифференцирования; получено мультипликативное свойство. С помощью дефектных интегральных преобразований Вебера найдена оценка разрешающей полугруппы для системы Стокса в вихревой форме. Построено граничное условие прилипания для вихревой функции. Получены результаты моделирования течения с набегающим потоком для профиля Жуковского, отрезка, эллипса, диска. Проведены исследования ряда трехмерных течений. Построено инвариантное многообразие для вихревой функции, соответствующее условию прилипания. Доказано существование граничного условия прилипания для функции вихря смешанного типа. Доказана теорема существования решения системы Навье-Стокса в вихревой форме с полученным вихревым граничным условием прилипания. Исследовались аппроксимативные свойства некоторых классов нелинейных множеств важных для приложений. А именно, множеств ридж—функций и более общих семейств функций с конечномерной структурой. Были рассмотрены некоторые вопросы, связанные с возможностью представления произвольной функции нескольких переменных в неограниченной области (особенно интересен случай, когда рассматриваются функции на всем Rn). Были получены новые результаты для необходимых и достаточных условий в линейно-квадратичных задачах вариационного исчисления. Рассмотрены простейшая задача вариационного исчисления, задача Больца, задача со старшими производными, изопериметрическая задача. В общей задаче оптимального управления получены необходимые условия первого и второго порядков для траектории локального инфимума - понятия, обобщающего понятие оптимальной траектории. Эти результаты усиливают и обобщают классические условия первого порядка (принцип максимума Понтрягина) и известные условия второго порядка. Для управляемой системы с непрерывным временем построена ее дискретная аппроксимация и приведены достаточные условия ее локальной управляемости относительно траектории, допустимой для управляемой системы с непрерывным временем.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2023
Результаты этапа:
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2024
Результаты этапа:
5 1 января 2025 г.-31 декабря 2025 г. Оптимизация, проблемы анализа, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и методы расчета прикладных задач 2025
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".