ИСТИНА

Развитие стохастических методов во многом обусловлено их практическими применениями в разных прикладных областях. В последнее время основным источником задач является финансовая математика (так например, фундаментальное понятие броуновского движения впервые возникло независимо в работе Л. Башелье "Теория спекуляций" 1900 г. использовавшего его для моделирования цен товаров на бирже, а также в работе А. Эйнштейна в контексте математической физики). Данный проект направлен на развитие методов стохастического анализа, статистики случайных процессов и их приложений в финансовой математике. Будут проведены исследования по свойствам моментов "падения" и "роста" случайного процесса, последовательным методам обнаружения разладок случайных процессов, задаче о внутренней полноте системы случайных процессов. Полученные результаты, помимо их теоретического значения, планируется интерпретировать в контексте приложений к финансовой математике и ее задачам, связанным с оптимальным инвестированием и вопросами экономического равновесия. Величины роста и падения случайного процесса представляют собой его максимальное отклонение от максимума или минимума; планируется изучить их распределения для общего класса случайных процессов, а также совместное распределение этих величин со значениями процесса. В контексте финансовой математики они представляют собой альтернативу стандартным мерам риска (таким как VaR, AVaR) и мерам доходности (отношение Шарпа и т.п.). Разладкой случайного процесса называется ненаблюдаемый момент изменения его вероятностных характеристик, например, в простейшем случае - момент изменения коэффициента сноса броуновского движения. под их обнаружением понимается оценивание данных моментов по изменениям в структуре наблюдаемого процесс.а Планируется разработать методы обнаружения моментов разладок, когда они последовательно происходят на бесконечном временном горизонте. Эти результаты могут быть применены в вопросах оптимального инвестирования, где изменением характеристик наблюдаемых процессов может, например, являться изменение направления движения процессов цен акций. Задача о внутренней полноте состоит в определении того, может ли любой мартингала быть представлен в виде стохастического интеграла по заданной системе процессов, которая дана не непосредственно (например, в форме процесса Ито), а неявно как решение некоторой оптимизационной задачи. Планируется получить достаточные критерии (и, возможно, необходимые) для внутренней полноты в различных постановках задания системы случйных процессов. В финансовой математике это тесно связано с вопросами существования динамического равновесия, где процессы представляют собой цены акций, устанавливаемые для обеспечения баланса спроса и предложения, что задается как решение задачи максимизации полезности каждым экономическим агентом. Полнота необходима для возможности осуществления торговых стратегий (которые представляются стохастическими интегралами), обеспечивающих максимизацию полезности. Указанные задачи находятся на современном крае исследований по стохастическим процессам, и, в особенности, их приложениям в финансовой математике. Новизна состоит в рассмотрении моделей, которые существенно приближают имеющиеся в литературе модели к реальным финансовым рынкам.

Исследование свойств величин роста и падения случайных процессов, их распределений, и их совместных распределений со значениями наблюдаемых процессов. Решение задачи о внутренней полноте системы процессов, заданных неявно как в виде оптимизационной задачи с фильтрацией, порожденной фрактальным броуновским движением, а также задачи при наличии несимметричной информации (ожидается либо найти достаточные условия для представимости, либо построить контрпример, показывающий что разумных общих условий недостаточно). Решение задачи обнаружения многократной разладки для различных критериев оптимальности правил обнаружение. Ожидаемые результаты будут иметь как теоретическую значимость для дальнейших исследований, так и, в особенности, могут быть использованы в задачах финансовой математики: задачи связанные с моментами роста и падения представляют альтернативу стандартным финансовым мерам риска; решение задачи обнаружения моментов разладки может быть использовано в вопросах оптимального инвестирования для нахождения моментов по перераспределению портфеля ценных бумаг; задача о внутренней полноте тесно связана с вопросами существования динамического равновесия на финансовых рынках.