Динамика и контактное взаимодействие тел и элементов конструкций с усложненными свойствамиНИР

Dynamics and contact interaction of bodies and structural elements with complicated properties

Источник финансирования НИР

грант РНФ

Этапы НИР

# Сроки Название
1 28 мая 2020 г.-31 декабря 2020 г. Динамика и контактное взаимодействие тел и элементов конструкций с усложненными свойствами
Результаты этапа: - Математические постановки нестационарных контактных задач для сплошных тел и элементов конструкций с учетом связности полей различной физической природы, диффузионных процессов и адгезионных взаимодействий. - Математические постановки постановок обратных нестационарных задач механики балок и стержней. - Системы разрешающих уравнений нестационарных контактных задач. - Системы разрешающих уравнений нестационарных обратных задач механики балок и стержней. - Разрешающая система уравнений движения электромагнитоупругих оболочек. - Нестационарные функции влияния для электромагнитоупругого стержня. Решение задач о нестационарных продольных колебаниях электромагнитоупругого стержня. - Нестационарные функции влияния для шарнирно-опертых балок с учетом упругодиффузионных процессов. Решение задач о нестационарных упругодиффузионных колебаниях шарнирно-опертых балок.
2 1 января 2021 г.-21 декабря 2021 г. Динамика и контактное взаимодействие тел и элементов конструкций с усложненными свойствами
Результаты этапа: 1. Проведено исследование связанных нестационарных поперечных колебаний электромагнитоупругого стержня. Построены функции влияния. Рассмотрены задачи о нестационарных связанных поперечных колебаниях бесконечных и конечных электромагнитоупругих стержней. При этом учитывается начальное электромагнитное поле, сила Лоренца, уравнения Максвелла и обобщенный закон Ома. Уравнения нестационарных колебаний сформулированы из общей теории, построенной на первом этапе выполнения проекта, с учетом угла поворота нормального волокна для однородных изотропных электромагнитоупругих оболочек, в которых за счет электромагнитного поля связаны продольные и поперечные движения. Решение задачи найдено в интегральной форме с ядрами в виде функций Грина (функций влияния). С применением интегральных преобразований Лапласа по времени, Фурье по продольной координате в случае бесконечного стержня и разложений в ряды Фурье в случае стержня конечной длины найдены функции влияния для электромагнитоупругого стержня. Получено решение связанной задачи о нестационарном изгибе электромагнитоупругого стержня конечной длины. Показано, что аналитическое решение возможно только при игнорировании поперечного обжатия и использовании квазистационарного варианта электромагнитного поля. Установлено, что связь электромагнитного и механического полей вносит только качественное отличие в решение. Предлагаемый подход при соответствующем развитии может быть распространен на аналогичные двумерные задачи для электромагнитоупругих пластин и оболочек. Более того, в практическом плане полученные результаты могут быть использованы для моделирования работы различных электронных устройств с токопроводящими элементами, которые подвергаются экстремальному воздействию полей различной природы 2. Проведено исследование нестационарных упругодиффузионных колебаний консольно закрепленных балок. Построены функции влияния. Рассмотрены нестационарные задачи об упругодиффузионном изгибе консольно-закрепленных балок Бернулли-Эйлера. Построена математическая постановка соответсвующих задач, которая представляет собой замкнутую систему уравнений поперечных колебаний балки с учетом диффузии, полученную из модели упругой диффузии с помощью вариационного принципа Даламбера. Принимая во внимание, что нестационарность может носить быстропротекающий характер, использована уточненная модель массопереноса, учитывающая релаксацию диффузионных потоков. Тем самым учтена конечная скорость распространения диффузионных возмущений, в отличие от классических моделей, где эта скорость считается бесконечной. Основная проблема в решении поставленной задачи состояла в невозможности построения решения в виде тригонометрических рядов Фурье. Это существенно осложнило обращение преобразования Лапласа, которое было использовано для построения решения этой задачи. Для преодоления указанной проблемы разработан и применён оригинальный метод эквивалентных граничных условий, который, с помощью соотношений, связывающих правые части граничных условий различных типов, позволил выразить решение задачи для консольно-закрепленной балки через решение задач для шарнирно опертых балок, полученное ранее. При этом в пространстве изображений по Лапласу полученные решения являются рациональными функциями параметра преобразования Лапласа и их оригиналы находятся с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления. Соотношения метода эквивалентных граничных условий записываются в виде интегральных уравнений Вольтера 1-го рода. Затем, полученная система уравнений решается численно с помощью квадратурных формул. В результате, решение исходной задачи удалось построить в аналитической форме в виде сверток функций Грина вспомогательной задачи с функциями, полученными в результате численного решения системы уравнений метода эквивалентных граничных условий. Полученные решения удобны для выполнения практических вычислений и проведения параметрического анализа результатов. Таким образом, разработанный алгоритм позволяет выразить решение задачи с произвольными граничными условиями через известное решение какой-либо задачи того же вида и с той же геометрией области. На примере двухкомпонентной консольно закрепленной балки, находящейся под действием поперечной нагрузки, приложенной к свободному концу, промоделированы эффекты взаимодействия механического и диффузионного полей, а также исследовано влияние релаксационных процессов на кинетику массопереноса. 3. Построение функций влияния для упругих оболочек, в том числе с акустическими и упругими заполнителями. Рассмотрены задачи о нестационарных функциях влияния для цилиндрических и сферических оболочек с упругими и акустическими заполнителями. Для описания движения оболочек используются уравнения модели С.П. Тимошенко, а для заполнителя – уравнения теории упругости, записанные в потенциалах упругих смещений согласно представлению Кельвина или уравнения движения акустической среды. Для построения функции влияния применён аппарат разложений в ряды Фурье по системам собственных функций задач для оболочки и заполнителя в сочетании с интегральным преобразованием Лапласа по времени. Выполнение неполного разделения переменных приводит к системам дифференциальных уравнений для коэффициентов рядов разложений, которые состоят из обыкновенных дифференциальных уравнений, как следствий подстановки соответствующих разложений в уравнения движения оболочки, а также уравнения в частных производных относительно коэффициентов рядов разложений потенциалов перемещений в заполнителе. Связь этих систем осуществляется через условия контакта между оболочкой и заполнителем используется интегральное преобразование Лапласа по времени. В результате задача сведена к решению систем алгебраических уравнений и обыкновенных дифференциальных уравнений. Решения последних в случае сферической оболочки с использованием условий контакта и связи модифицированной функции Бесселя первого рода с элементарными функциями, приводит к выражениям для изображений коэффициентов разложения в ряд искомой функции влияния. Получение оригиналов коэффициентов осуществлено аналитически с применением разложений в ряды по экспонентам. В случае цилиндрической оболочки оригиналы коэффициентов рядов также строятся аналитически с применением асимптотически эквивалентных функций. Полученные функции влияния и интегральные соотношения, которые использованы для решения тестовых задач о воздействия нестационарного давления на сферические и цилиндрические оболочки с упругим заполнителем. При этом функции влияния представляют собой сумму двух слагаемых, одно из которых соответсвуют функции для оболочки без заполнителя, а второе – характеризует влияние заполнителя. Построенные представления функций влияния удобны для выполнения практических расчётов, и анализа вклада в решение наличия в оболочке упругого заполнителя. Получены решения ряда практических задач, проведён параметрический анализ результатов. Оценено влияние наличия упругого заполнителя в оболочке. 4. Разработка математических постановок и систем разрешающих уравнений нестационарных контактных задач с учетом сил адгезионного взаимодействия. Разработаны математические постановки и системы разрешающих уравнений нестационарных контактных задач для абсолютно твёрдых ударников и деформируемых тел (полупространство, мембраны и пластины). В качестве моделей адгезионного взаимодействия рассмотрены модели Можи и потенциал Леннарда-Джонса. Процесс взаимодействия разделён на два этапа: до вступления тел в механический контакт и этап контактного взаимодействия с учетом адгезионных сил. В основу построения систем разрешающих уравнений положен принцип суперпозиции. С использованием метода функий влияния построены системы разрешающих уравнений, базирующиеся на интегральных соотношениях между перемещениями и нестационарным давлением. Проведено исследование влияния адгезионных сил в нестационарной контактной задаче для абсолютно твёрдого тела и мембраны. Показано, что адгезионные силы вносят существенный вклад в напряженно-деформированное состояние элементов конструкций малой плотности и размеров, а потому представляют большой интерес при рассмотрении тонких пластин и мембран. Построена математическая постановка задачи о взаимодействии штампа и мембрана с учетом двух этапов взаимодействия – бесконтактного и контактного. Разработан метод решения поставленной задачи. Предложен итерационный алгоритм анализа контактной задачи с учетом адгезии. Исследован процесс нестационарного контактного взаимодействия неограниченной тонкой мембраны и твёрдого штампа с учётом определенного вида адгезии – межмолекулярного поверхностного притяжения. Получены расчетные формулы и реализован численно-аналитический алгоритм решения. Предложена итерационная схема для случая контактного взаимодействия выпуклого штампа и мембраны при учете адгезии. Получены графические результаты решения. 5. Построение решения нестационарных контактных задач для оболочек с упругим и акустическим заполнителем. Рассмотрены нестационарные контактные задачи с подвижными границами для двух тонких однородных упругих круговых цилиндрических или сферических оболочек, заполненных упругой средой. В начальный момент времени одна из оболочек (основание) неподвижна, а другая (ударник) движется с некоторой начальной скоростью, вектор которой сонаправлен с осью, соединяющей центры оболочек. Для оболочек используются уравнения движения типа Тимошенко. Для описания движения заполнителей используются уравнения теории упругости в цилиндрической или в сферической системе координат. В случае двух цилиндрических оболочек первоначально контакт происходит вдоль образующей граничных поверхностей, а сами оболочки предполагаются бесконечно длинными, что приводит к плоской постановке задачи. Для варианта сферических оболочек область контакта первоначально совпадает с точкой касания полюсов оболочек и соответствующая задача является осесимметричной. В обоих вариантах предполагается, что контакт между оболочками и оболочками с заполнителем происходит в условиях свободного проскальзывания. Область контакта изменяется во времени и положение её границы определяются в процессе решения задачи. С использованием функций влияния для оболочек с упругим и акустическим заполнителем построены разрешающие задачу интегральные уравнения, которые дополняются уравнениями движений оболочек как абсолютно твёрдых тел, записанными в интегральной форме, и кинематическими соотношениями для определения положения границ области контакта в нулевом приближении. При этом границы области контакта определяются из условия пересечения недеформированных поверхностей оболочек. Для решения системы разрешающих уравнений построена явная численно-аналитическая схема. Для дискретизации интегральных операторов в основном разрешающем уравнении применяется аппроксимация пространственно-временной области контакта с помощью метода сеток. Аналогично аппроксимируются интегральные операторы в уравнениях движения оболочек как абсолютно твёрдых тел. В результате на каждом шаге по времени задача сводится к решению системы алгебраических уравнений. При этом на каждом временном шаге граница области контакта определяется уточняется с помощью специальной итерационной процедуры. Алгоритм уточнения области контакта позволяет учесть такие эффекты как частичное отслоение граничных поверхностей в зоне контакта, а также выход перемещений за её границы. С помощью предложенных методов и алгоритмов построены решения нестационарных контактных задач для двух цилиндрических или сферических оболочек с учётом упругого заполнителя. Проведен анализ влияния наличия заполнителя на процесс контактного взаимодействия. Полученные результаты вошли в докторскую диссертацию, защищённую в 2021 году одним из основных исполнителей проекта. 6. Построение решения нестационарной контактной задачи для полупространства и абсолютно твердого ударника с учетом сил адгезионного взаимодействия. Рассматривается нестационарное взаимодействие жесткого выпуклого ударника с упругой изотропной полуплоскостью с учётом сил адгезионного взаимодействия описываемых моделью Можи. В начальный момент времени абсолютно твёрдый ударник бесконечно длинный ударник, ограниченный гладкой выпуклой цилиндрической поверхностью, движется с некоторой начальной скоростью по направлению нормали к границе упругого полупространства, характеризующегося наличием адгезионных свойств на свободной поверхности. В начальный момент времени полупространство находится в невозмущенном состоянии, а ударник располагается на таком расстоянии от свободной поверхности полупространства, при котором адгезионных сил ещё не проявляется. При этом образующая боковой поверхности ударника параллельна свободной поверхности полупространства. Поскольку в направлении образующей боковой поверхности ударника перемещения и компоненты напряженно-деформированного состояния не изменяются, контактная задача рассматривается в плоской постановке. При этом полупространство отождествляется с упругой полуплоскостью. Процесс взаимодействия характеризуется наличием двух этапов. На первом этапе механического контакта между ударником и основанием не происходит, но влияние адгезионных сил на этом этапе уже проявляется. Это происходит вследствие бесконтактного взаимодействия ударника и основания за счёт влияния сил адгезионного притяжения. В результате в полуплоскости возникает нестационарное напряженно-деформированное состояние. И к моменту начала второго этапа (собственно, механического контактного взаимодействия) полуплоскость находится в движении. Это существенно осложняет решение нестационарных контактных задач с учётом адгезии по сравнению с нестационарными контактными задачами без учёта сил адгезионного притяжения. Указанную сложность, как будет видно далее, удалось преодолеть с использованием специального интегрального представления, основанного на методе функций влияния. Для описания процесса взаимодействия сформулирована математическая постановка задачи, включающая оба этапа взаимодействия ударника и упругой полуплоскости. Метод решения базируется на принципе суперпозиции. При этом используется решение задачи Лэмба в качестве функции влияния для упругой полуплоскости. С использованием функции влияния задача сведена к системе разрешающих функциональных уравнений. При этом основное уравнение является двумерным сингулярным интегральным уравнением типа Вольтерра с зависящими от времени пределами интегрирования. Эти пределы определяются положениями подвижных точек смены граничных условий. Они, в свою очередь, представляют собой положения границ области взаимодействия. Построенное уравнение остаётся справедливым как на первом (бесконтактном), так и на втором (контактном) интервале взаимодействия. При этом на втором этапе в интегральном операторе основного уравнения происходит замена ядра вследствие влияния процесса механического контакта. Основное уравнение дополняется до замкнутой системы уравнением движения ударника и кинематическими соотношениями для определения положения границ области контакта. Разработан оригинальный численно-аналитический алгоритм определения как перемещения границы упругой полуплоскости, так и носителя силы адгезионного взаимодействия. Построены разрешающие интегральные уравнения относительно контактных напряжений. Разработан и реализован численно-аналитический алгоритм решения задачи. 7. Построение решений нестационарных обратных ретроспективных задач для балки Тимошенко. Рассмотрены прямые и обратные задачи для балки Тимошенко конечной длинны при воздействии нестационарной нагрузки. В основу методики решения прямой задачи положен принцип суперпозиции, при котором перемещения и контактные напряжения связаны посредством интегральных операторов по пространственной переменной и времени. При этом ядрами последних являются так называемые функции влияния. Эти функции представляют собой фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений движения исследуемой балки. Их построение представляет собой отдельную задачу. Функции влияния находятся с помощью преобразования Лапласа по времени и разложений в ряды Фурье по системе собственных функций. Решение обратной задачи на первом этапе сводится к системе алгебраических уравнений относительно вектор-оператора, компонентами которого являются свертки по времени коэффициентов ряда разложения для функции влияния с искомыми коэффициентами разложения нагрузки в ряд Фурье. При этом компонентами вектора правых частей являются временные зависимости, поступающие с установленных датчиков. Полученная система является плохо обусловленной. Для ее решения используется метод регуляризации Тихонова. На втором этапе решаются независимые интегральные уравнения Вольтера I рода относительно искомых коэффициентов ряда Фурье для нагрузки. Для построения решения разработан и реализован на ЭВМ численно-аналитический алгоритм, основанный на методе средних прямоугольников. Построены решения ряда нестационарных ретроспективных задач по идентификации закона изменения внешней нагрузки по времени и по координате. Выполнена верификация полученных результатов. Исследованы возможности применения предложенного метода идентификации при наличии зашумленности измерений. 8. Дополнительно. А). Исследованы нестационарные колебания тонкой анизотропной неограниченной пластины Кирхгофа при воздействии на нее произвольных нестационарных нагрузок. Подход к решению основан на принципе суперпозиции и методе функций влияния (функций Грина), суть которого заключается в связи искомого решения с нагрузкой при помощи интегрального оператора типа свертки по пространственным переменным и по времени. Ядром этого оператора является функция Грина для анизотропной пластины, которая представляет собой нормальные перемещения в ответ на воздействие единичной сосредоточенной нагрузки по координатам и времени, математически описываемой дельта-функциями Дирака. Для построения функции Грина использованы прямые и обратные интегральные преобразования Лапласа и Фурье. Обратное интегральное преобразование Лапласа найдено аналитически. Обратное двумерное интегральное преобразование Фурье найдено численно методом интегрирования быстро осциллирующих функций. Полученное фундаментальное решение позволило представить искомый нестационарный прогиб в виде тройной свертки по пространственным координатам и по времени функции Грина с функцией нестационарной нагрузки. Для вычисления интеграла свертки и построения искомого решения использован метод прямоугольников. Б). Построены решения плоских контактных задач для абсолютно жестких штампов с произвольным основанием и упругой полуплоскости. Изначально область контакта является неизвестной. Штамп полагаем жестким и в процессе контактного взаимодействия он не деформируется. Контакт рассматривается без трения, границы полуплоскости вне контакта являются свободными. Разработан алгоритм решения, основанный на методе граничных элементов, позволяющий определить область истинного контакта с любой наперёд заданной точностью, а также распределение контактного давления, перемещения и компоненты напряженно-деформированного состояния в любой точке упругой полуплоскости. В результате данной работы была реализована программа расчета напряженно-деформированного состояния во всей полуплоскости. Получены, проанализированы и проверены результаты расчётов. В). Построен и реализован на ЭВМ алгоритм решения плоских задач теории упругости для многосвязных областей. Рассмотрено однородное упругое тело, имеющее полости, ограниченные произвольными кривыми. В общем случае, могут быть заданы напряжения и перемещения на границах полостей, а также напряжения на бесконечности. На границах полостей могут имеют место граничные условия в перемещениях, напряжениях или условия смешанного типа. Для решения задачи используется разновидность метода граничных элементов – метод фиктивных сил. При методе фиктивных сил основой для решения задачи о распределении напряжений и смещений внутри расчетной области при сложных граничных условиях является известное или контрольное решение о распределении смещений и напряжений от воздействия сосредоточенной силы. Метод фиктивных нагрузок основан на аналитическом решении задачи о постоянной нормальной и касательной нагрузках, приложенных на произвольно ориентированном отрезке в бесконечной среде. Это решение можно определяется непосредственно из результатов решения задачи Кельвина с помощью преобразования координат. Для получения и анализа результатов расчётов была реализована программа расчета напряженно-деформированного состояния упругого тела, позволяющая определить значения напряжений и перемещений в любой точке расчётной области. Г). Решена обратная нестационарная задача о восстановлении закона изменения площади поперечного сечения упругого стержня. Рассматривается упругий изотропный стержень конечной длины, левый конец которого жестко закреплен, правый конец стержня свободный. На свободном конце стержня приложена сосредоточенная нагрузка, зависящая от времени. Стержень имеет переменную площадь поперечного сечения, в котором закон распределения по координате неизвестен и подлежит идентификации в процессе решения обратной задачи. Предполагается, что в некоторой окрестности свободного конца стержня перемещения известны. На практике эта информация может поступать с датчиков измерения продольных перемещений, установленных в нескольких сечениях в окрестности свободного конца стержня. Для построения метода решения обратной задачи необходимо сначала получить решения прямой задачи, в которой площадь известна и требуется определить нестационарные перемещения для упругого стержня. В основу методики решения прямой задачи положен принцип суперпозиции, при котором перемещения и контактные напряжения связаны посредством интегральных операторов по пространственной переменной и времени. При этом ядрами последних являются функции влияния для упругого стержня. Эти функции представляют собой фундаментальные решения систем дифференциальных уравнений движения исследуемого стержня. Функции влияния находятся с помощью преобразования Лапласа по времени и разложений в ряды Фурье по системе собственных функций. В обратной задаче требуется по данным, полученным с датчика, найти переменную площадь поперечного сечения. Решение обратной задачи сводится к решению системы независимых интегральных уравнения Вольтера I-го рода, которая является некорректной по Ж. Адамару вследствие вырожденности ядер интегральных операторов. Для регуляризации обратной задачи применяется метод регуляризации Тихонова, приводящий к системе интегральных уравнений с невырожденными ядрами. Для решения системы разрешающих интегральных уравнений разработан и реализован на ЭВМ численно-аналитический алгоритм, основанный на методе средних прямоугольников в сочетании с методом регуляризации Тихонова. Выполнена проверка полученных результатов. Проанализированы результаты расчетов. Д). Проведены предварительные исследования в области нестационарных обратных ретроспективных задач для пластин. Рассмотрена шарнирно-опертая, прямоугольная пластина Тимошенко. На пластину действует сосредоточенная нагрузка, изменяющаяся со временем. В начальный момент времени пластина находится в недеформированном состоянии. Движение пластины описывается системой уравнений С.П. Тимошенко. Полагается, что в точке с заданными координатами установлен датчик, способный измерять нестационарный прогиб пластины. В обратной задаче требуется восстановить закон нагружения по показаниям датчика. Метод решения основан на связи нормальных перемещений с поверхностным давлением посредством интегрального оператора по пространственным переменным и по времени. Ядром этого оператора является найденная при решении прямой задачи функция влияния для пластины. Это позволяет свести обратную задачу к решению интегрального уравнения типа Вольтера первого рода по времени. Для решения интегрального уравнения разработан и реализован на ЭВМ численный алгоритм, основанный на методе механических квадратур. Предложенный алгоритм прошел успешную апробацию применительно к задачам реконструкции закона изменения нагрузки от времени. Е) Исследованы нестационарные упругодиффузионные колебания прямоугольной изотропной пластины Тимошенко. Построена математическая постановка задачи для свободно опертой пластины, которая представляет собой замкнутую систему уравнений поперечных колебаний пластины с учетом диффузии, полученную из модели упругой диффузии с помощью вариационного принципа Даламбера. Построены функции Грина для свободно опертой пластины, находящейся под действием изгибающих моментов, приложенных к ее краям. Алгоритм решения основан на использовании преобразования Лапласа и разложения в двойные тригонометрические ряды Фурье. Обращение преобразования Лапласа осуществляется аналитически с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления. На примере трехкомпонентной прямоугольной пластины, находящейся под действием пары изгибающих моментов промоделированы эффекты взаимодействия механического и диффузионного полей.
3 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Динамика и контактное взаимодействие тел и элементов конструкций с усложненными свойствами
Результаты этапа: 1. Проведены исследования связанных нестационарных поперечных колебаний электромагнитоупругой пластины. Построены функций влияния для электромагнитоупругой пластины. Рассмотрены задачи о нестационарных связанных поперечных колебаниях бесконечных и конечных электромагнитоупругих пластин. При этом учтено начальное электромагнитное поле, сила Лоренца, уравнения Максвелла и обобщенный закон Ома. Уравнения нестационарных колебаний получены из общей теории, построенной на первом этапе выполнения проекта, с учетом угла поворота нормального волокна для однородных изотропных электромагнитоупругих оболочек, в которых за счет электромагнитного поля связаны продольные и поперечные движения. Решение задачи найдено в интегральном виде с ядрами в виде функций Грина (функций влияния). С применением интегральных преобразований Лапласа по времени, Фурье по пространственным координатам в случае неограниченной пластины и разложений в ряды Фурье в случае ограниченной пластины построены решения задач о функциях влияния. Как частный случай (одномерная пластины) получены уравнения связанных изгибных, продольных и крутильных колебаний электромагнитоупругих стержней, а также рассмотрена имеющая приложение задача о динамике такого стержня на двух симметрично расположенных опорах. 2. Исследованы связанные нестационарные термоупругодиффузионные колебания шарнирно-опертых балок. Построены функций влияния для термоупругодиффузионных шарнирно-опертых балок. Рассмотрены нестационарные задачи об термоупругодиффузионном изгибе шарнирно-опертых балок Бернулли-Эйлера. Построена математическая модель, которая представляет собой замкнутую систему уравнений поперечных колебаний балки с учетом влияния тепломассопереноса, полученную из модели термоупругой диффузии для сплошных сред с помощью вариационного принципа Даламбера. Модель учитывает релаксационные термодиффузионные эффекты, обуславливающие конечную скорость распространения тепловых и диффузионных потоков. Проведено исследование нестационарных поперечных термоупругодиффузионных колебаний свободно опертых балок, находящихся под действием сосредоточенных и распределенных изгибающих моментов и поперечных сил. Дополнительно сформулирована постановка задачи об упругодиффузионных нестационарных колебаниях шарнирно опертой прямоугольной ортотропной пластины Тимошенко, находящейся под действием распределенной по поверхности поперечной нагрузки. Данная модель описывает взаимосвязь между механическими и диффузионными полями в сплошных средах и учитывает релаксационные диффузионные эффекты, обуславливающие конечную скорость распространения диффузионных возмущений. Решение указанных задач найдено в интегральной форме, представляющей собой свертку функций Грина с функциями, задающими внешние термоупругодиффузионные возмущения. Для построения функций Грина использован метод, основанный на применении интегрального преобразования Лапласа и разложения в ряды Фурье, который позволяет свести начально-краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. Оригиналы функций Грина найдены аналитически с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления. На примере трехкомпонентного материала промоделированы эффекты взаимодействия механического, температурного и диффузионного полей, а также исследовано влияние релаксационных процессов на кинетику тепломассопереноса. 3. Построено решение нестационарной контактной задачи для термоупругодиффузионной балки и абсолютно твердого ударника. Рассмотрены нестационарные контактные задачи для термоупругодиффузионных балок и абсолютно твердых ударников. С использованием принципа суперпозиции и метода функций влияния построена система разрешающих уравнений нестационарных контактных задач для термодиффузионных балок и абсолютно твёрдых ударников. Система разрешающих уравнений состоит из основного двумерного интегрального уравнения типа Вольтера, вытекающего из граничных условий и условий контакта. Ядром этого интегрального уравнения является функция влияния для термодиффузионной балки, построенная ранее в рамках работ над настоящим проектом. До замкнутой системы основное интегральное уравнение дополнено уравнением движения ударника как абсолютно твёрдого тела, а также дополнительным соотношением для определения положения границ области контакта в нулевом приближении. Область контакта в общем случае заранее неизвестна и её границы определяются в процессе решения задачи. Для этого разработан специальный итерационный процесс. На нулевой итерации этого процесса область контакта определяется приближенно из условия пересечения недеформированной упругой линии балки и граничной поверхности ударника. На следующих итерациях положения границ области контакта уточняются с учётом деформируемости упругой линии балки. При этом на каждом шаге итерационного процесса рассчитывается распределение контактного давления, прогиб балки и перемещение граничной поверхности ударника. По этим распределениям проверяются заданные условия контакта. В случае нарушения этих условий в каких-либо определённых точках контактной области эти точки исключаются из расчёта на последующих итерациях. Таким образом, итерационная процедура позволяет уточнить положения границ области контакта, а также учесть эффекты выхода перемещений за границы области контактного взаимодействия и возможный частичный отрыв балки от граничной поверхности ударника в зоне контакта. Для построения решения системы разрешающих уравнений разработаны оригинальные численно-аналитические алгоритмы, основанные на методе механических квадратур. При этом все заданные и искомые функции приближённо заменяются сеточными аналогами. Для вычисления интегралов построены специальные численно-аналитические квадратурные формулы. 4. Найдено решения обратной нестационарной геометрической задачи об определении дефекта в упругом стержне. Рассмотрена нестационарная обратная геометрическая задача об идентификации наличия дефектов в упругих стержнях, а также об определении их геометрических параметров. Предполагается, что дефект в упругом стержне представляет собой локальное изменение площади поперечного сечения. С одного конца стержень жестко закреплён, а на другом его конце установлен датчик, который измеряет продольные перемещения конца стержня в зависимости от времени. К этому же концу прикладывается нестационарная сосредоточенная продольная нагрузка, изменяющаяся во времени по заданному закону. В обратной задаче требуется по известному значению упругого смещения конца стержня определить наличие, расположение и параметры дефекта. Для решения обратной задачи используется разложение в ряд по малому параметру. Ограничиваясь в этом разложении двумя первыми слагаемыми, прямая задача сводится к решению двух рекуррентных подзадач. Первая из этих подзадач является задачей о нестационарных колебаниях стержня постоянного поперечного сечения. Решение этой подзадачи находится аналитически. Умножая уравнение второй подзадачи на решение первой подзадачи и интегрируя полученное уравнение по длине стержня и по времени, приходим к двумерному интегральному уравнению относительно искомой площади поперечного сечения. При этом интегральный оператор по времени имеет вид свёртки решения первой подзадачи с его производной по пространственной переменной. Решение обратной задачи строится с помощью полиномиальной аппроксимации искомой функции площади и дискретизации по времени. Предложенный метод апробирован на решении ряда тестовых задач для стержней с локальными дефектами. 5. Построено решения обратной нестационарной ретроспективной задачи для пластины. Рассмотрена тонкая прямоугольная шарнирно-опёртая пластина, испытывающая воздействие нестационарного поверхностного давления, распределённого произвольным образом, по произвольной области, принадлежащей поверхности пластины и произвольно зависящее от времени. Полагается, что на некоторой части пластины зависимость её нормальных перемещений от времени известна. На практике эта информация может поступать с датчиков измерения прогиба, установленных на этой части пластины. В обратной задаче требуется по информации, поступающей с датчиков перемещений восстановить действующее на пластину нестационарное давление. Для решения этой задачи использовано разложение в ряды Фурье по пространственным переменным в сочетании с методом функций влияния. В результате построена бесконечная система уравнений Вольтерра относительно коэффициентов разложения в ряды Фурье искомого давления, зависящих от времени. Полученная система интегрируется численно с применением квадратурных формул и принципа усечения. В результате построены зависимости от времени коэффициентов ряда разложения искомого давления. Ограничиваясь конечным числом членов разложения, получены и проанализированы численные результаты решения ряда обратных задач о восстановлении распределённых нестационарных нагрузок, воздействующих на пластину, по данным наблюдений за прогибами конечной её части. 6. Дополнительно проведено исследование в области обобщённых моделей нестационарной теплопроводности. Найдены и исследованы фундаментальные решения гиперболического уравнения нестационарной теплопроводности. Приведена математическая постановка задач о воздействии объёмного источника тепла в неограниченном пространстве в трёхмерном случае, а также о воздействии сосредоточенных источников на поверхность полупространства в трёхмерной и двумерной постановке. С использованием интегральных преобразований Лапласа и Фурье построены пространённые и объёмные фундаментальные решения (функции влияния) сосредоточенных источников, а также функция влияния поверхностного источника тепла в случае плоской задачи. Для обращения интегральных преобразований в случае объёмного источника использовано последовательное обращение интегральных преобразований Фурье и Лапласа. В задаче о поверхностных источниках тепла обратить интегральные преобразования последовательно не представляется возможным. В этом случае использован подход, основанных на связи преобразования Фурье с рядом Фурье на переменном интервале. При этом обратное преобразование Лапласа строиться аналитически. Проведена оценка сходимости рядов Фурье на переменном интервале. Построено решение задачи о сосредоточенном объёмном источнике тепла постоянной интенсивности. Решение получено в интегральной форме с помощью функции влияния объёмного источника и принципа суперпозиции. Приведены результаты расчёта. Проведено сравнение с классическими решениями в случае уравнения теплопроводности параболического типа. Показано, что учёт конечной скорости тепловых волн существенно влияет на процесс нагрева только на относительно коротком начальном этапе воздействия источников тепла. Выявлено, что влияние учёта конечной скорости распространения тепла более существенно проявляется в задачах о поверхностном нагреве, по сравнению с задачами об объёмных источниках тепла. В задачах с объёмными источниками следует учитывать гиперболический тип уравнения при временах сравнимых с временем релаксации. В случае поверхностных источников тепла временной этап существенного влияния конечной скорости распространения тепловых волн составляет порядка нескольких десятков значений времени релаксации материала.
4 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Динамика и контактное взаимодействие тел и элементов конструкций с усложненными свойствами
Результаты этапа: 1. Исследование связанных нестационарных колебаний электромагнитоупругих цилиндрических оболочек. Построены функции влияния для электромагнитоупругих цилиндрических оболочек. Построена общая математическая постановка задач нестационарной связанной электромагнитоупругости для анизотропных оболочек. Как частный случай этой модели получены уравнения и соотношения начально-краевых задач для электромагнитоупругих изотропных цилиндрических оболочек. Механическая часть модели электромагнитоупругой оболочки включает в себя соответствующие уравнения движения цилиндрической оболочки и геометрические соотношения [1, 2]. Электромагнитную часть модели включает уравнения Максвелла и обобщенный закон Ома. Связь механических и электромагнитных полей осуществляется выражением для силы Лоренца электромагнитного поля в уравнениях движения оболочки. Для замыкания системы уравнений построены соответствующие физические соотношения. Для этого использовано выражение для свободной энергии оболочки в предположении, что свободная энергия является однозначной, дифференцируемой функцией деформаций и компонент векторов электрической и магнитной индукций. В результате получены нелинейные физические соотношения для электромагнитоупругих оболочек. Для их линеаризации положено, что свободная энергия является дважды дифференцируемой функцией. Ограничиваясь ее квадратичным приближением, получены линейные физические соотношения, которые помимо тензора упругих констант содержат тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости, а также тензоры пьезоэлектрических и пьезомагнитных постоянных. Предложенная математическая модель является наиболее полной линеаризованной моделью электромагнитоупругой анизотропной оболочки. Далее рассматривается частный случай предложенной модели, а именно изотропная электромагнитоупругая цилиндрическая оболочка. В этом случае компоненты тензоров пьезоэлектрических и пьезомагнитных постоянных полагаются нулевыми, а матрицы тензоров диэлектрической и магнитной проницаемости имеют диагональный вид. При этом физические соотношения существенно упрощаются, в частности, механическая и электромагнитная части физических соотношения оказываются не связанными друг с другом, а связь механической и электромагнитной частей системы уравнений обеспечивается исключительно силой Лоренца. Для изотропной цилиндрической электромагнитоупругой оболочки предложено три варианта модели: модель типа Кирхгофа-Лява, модель типа Тимошенко, учитывающая сдвиг и инерцию вращения поперечных сечений, и общая модель с учётом обжатия в поперечных слоях оболочки. Разработана математическая постановка задач о функциях влияния для неограниченно протяженной электромагнитоупругой цилиндрической оболочки, которая включает связанную систему уравнений движения и электромагнитодинамики оболочки, геометрические и физические соотношения, начальные условия. При этом в правых частях уравнений движения оболочки нагрузки заменены сосредоточенными силами, для математического описания которых использованы дельта-функции Дирака. Решения задач о функциях влияния строятся с помощью разложений в тригонометрические ряды Фурье по угловой координате, интегрального преобразования Фурье по продольной координате и интегрального преобразования Лапласа по времени. В результате задача сведена к системе линейных алгебраических уравнений относительно изображений по Фурье и Лапласу коэффициентов рядов разложений. Для построения оригиналов использован численно-аналитический метод обращения, основанный на квадратурных формулах для обратного преобразования Фурье в сочетании с аналитическим обращением интегрального преобразования Лапласа с помощью вычетов. Рассмотрен частный случай плоской постановки задачи о функциях влияния для электромагнитоупругой цилиндрической оболочки. Решение задачи построено аналитическими методами с примененем разложений в ряды Фурье и интегрального преобразования Лапласа по времени. 2. Постановка задачи и разработка алгоритма решения нестационарных задач для термоупругодиффузионных пластин Кирхгофа. Дана математическая постановка и разработан алгоритм решения нестационарных задач для термоупругодиффузионных пластин Кирхгофа. Построена замкнутая математическая постановка нестационарной задачи об упругодиффузионных деформациях прямоугольной ортотропной пластины с учетом релаксации диффузионных потоков. При этом полагалось, что внешние возмущения лежат в плоскости пластины. Это позволило в качестве математической модели использовать двумерную модель упругой диффузии для сплошных сред. Решение задачи разыскивалось в виде сверток функций Грина с функциями, задающими граничные возмущения. Метод нахождения функций Грина основан на использовании преобразования Лапласа и двойных тригонометрических рядов Фурье. Оригиналы функций Грина найдены с помощью вычетов и таблиц операционного исчисления. На примере трехкомпонентной прямоугольной пластины, находящейся под действием растягивающих усилий смоделированы эффекты взаимодействия механического и диффузионного полей, а также исследовано влияние релаксационных процессов на кинетику массопереноса. Результаты вычислений представлены в аналитической и графической формах [3]. Дополнительно проведено исследование нестационарных колебаний балки Бернулли-Эйлера с учетом релаксации температурных и диффузионных процессов. Исходная математическая модель включает в себя систему уравнений нестационарных изгибных колебаний балки с учетом тепломассопереноса, которая получена из общей модели термомеханодиффузии для сплошных сред с помощью вариационного принципа Даламбера. Решения задачи ищется в интегральной форме. Ядрами интегральных представлений являются функции Грина, для нахождения которых используются разложения в тригонометрические ряды Фурье и преобразование Лапласа по времени. На примере свободно опертой трехкомпонентной балки выполненной из сплава цинка, меди и алюминия, находящейся под действием нестационарных изгибающих моментов, исследовано взаимодействие механического, температурного и диффузионного полей [4]. 3. Построение решения нестационарной контактной задачи для неограниченной термоупругодиффузионной пластины и абсолютно твердого ударника. Построены разрешающие интегральные уравнения нестационарных контактных задач для термоупругодиффузионных пластин Кирхгофа и абсолютно твердых ударников. При этом основные интегральные уравнения вытекают из граничных условий и условий контакта. Полагается, что контакт происходит в условиях свободного проскальзывания. Ядрами интегральных операторов разрешающих уравнений выступают функции влияния. В результате задача сводится к системе функциональных уравнений, которое включает основное разрешающее интегральное уравнение, уравнение для определения положения границ области контакта из кинематического условия пересечения недеформированной срединной плоскости пластины с граничной поверхностью ударника и уравнение движение ударника как абсолютно твёрдого тела, записанное в интегральной форме. Решение системы разрешающих уравнений строится приближенно, с использованием метода механических квадратур. При этом всем заданным и искомым функциям ставятся в соответствие их дискретные аналоги, определённые на узлах пространственно-временной сетки, аппроксимирующей область контакта. С использованием квадратурных формул на каждом шаге по времени задача сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно узловых значений контактного давления. Положение подвижных границ области контакт на каждом временном шаге определяется из кинематического условия пересечения недеформированной срединной плоскости пластины с граничной поверхностью ударника, положение центра масс которого и, соответственно, положение его граничной поверхности определяется из уравнения движения ударника как абсолютно твёрдого тела. 4. Разработка математических постановок, методов и алгоритмов решения обратных нестационарных геометрических задач об определении дефектов в упругих пластинах. Разработана математическая постановка, методы и алгоритмы решения обратных нестационарных геометрических задач об определении дефектов в упругих пластинах. Для пластины использована модель Кирхгофа. Постановка задачи включает в себя уравнения движения пластины, начальные и граничные условия, а также дополнительную информацию о поведении решения в заданных точках пластины. На практике эта информация может поступать с датчиков перемещений, скоростей или ускорений, установленных в заданных точках поверхности пластины. Алгоритм решения основан на методе граничных интегральных уравнений. Для этого сначала аналитическими методами находится фундаментальное решение уравнения движения пластины. Оно представляет собой прогиб неограниченной пластины под действием мгновенной сосредоточенной нагрузки. Полагая, что пластина имеет некоторый дефект, ограниченный заданным замкнутым контуром, решение прямой задачи может быть найдено с помощью метода граничных элементов. При этом с использованием фундаментального решения строится интегральное представление нестационарных прогибов пластины во внутренних точках с использованием динамической теоремы взаимности работ. При устремлении координат внутренней точки на границу дефекта это представление можно рассматривать как граничное интегральное уравнение, считая в нём неизвестными те величины, которые не заданы граничными условиями на контуре дефекта, а именно, прогибы пластины (полагаем, что на контуре дефекта внешние нагрузки отсутствуют). Для решения граничного интегрального уравнения контур дефекта приближенно аппроксимируется конечным числом сегментов, называемых граничными элементами. Искомые функции также заменяются приближенными аппроксимациями. Далее рассматривается простейший вариант этих аппроксимаций. А именно, аппроксимации граничных элементов представляют собой прямолинейные отрезки, а искомая функция (прогиб) полагается постоянной в пределах каждого элемента и равной её значению в центре этого элемента. Таким образом элемент характеризуется своими крайними точками и центральной точкой – узлом. Полученный дискретный аналог интегрального уравнения на каждом шаге по времени сводится к решению системы алгебраических уравнений относительно значений прогибов на граничных элементах. По найденным значениям прогибов, из исходного интегрального представления можно найти перемещение в любой точке пластины вне контура дефекта. В обратной же задаче полагается, что расположение дефекта и его размеры неизвестны и подлежат определению. Зато дана возможность измерения прогиба пластины в некоторых определенных точках её поверхности. Нагрузка при этом полагается заданной. С использованием интегрального представления для перемещений, получаем интегральное уравнение обратной задачи. Неизвестными в нём являются контур дефекта и значения перемещений на контуре. Аналогично прямой задаче, заменяя контур дефекта приближенной кусочно-линейной аппроксимацией, а перемещениям на контуре ставя в соответствие их значения в центрах линейных участков, сводим задачу к разрешающему граничному интегральному уравнению, относительно перемещений в центрах элементов, зависящих от времени, и координат начал и концов граничных элементов, которые от времени не зависят. Используя квадратурные формулы для входящих в граничное уравнение контурных интегралов, получаем уравнение, структура которого представляет собой линейную комбинацию искомых координат узлов контура дефекта. Коэффициентами этой линейной комбинации являются интегральные операторы типа свёртки по времени, в которых в качестве плотностей выступают функции перемещений в центрах граничных элементов. Задаваясь достаточным количеством точек измерений, для каждой точки строим соответствующее интегральное уравнение. В результате получаем систему операторных уравнений, в которые искомые координаты узлов контура входят линейно. Следовательно, для того, чтобы она имела решение необходимо и достаточно, чтобы её определитель был равен нулю. Отсюда вытекает алгебраическое уравнение из которого определяются искомые координаты узлов контура дефекта. 5. Решения обратных нестационарных коэффициентных задач для стержней. Построены решения нестационарных обратных коэффициентных задач для стержней. Рассматривается консольно закреплённый стержень, конечной длины. Стержень имеет переменные по длине физико-геометрические характеристики (плотность, модуль Юнга и площадь поперечного сечения). В обратной задаче требуется при заданных двух характеристиках найти третью (плотность материала, модуль упругости или площадь поперечного сечения). Полагается, что стрежень нагружен на свободном конце заданной силой, зависящей от времени. Также полагается, что перемещения нагруженного конца стержня известны. В случае стержней с переменными по длине характеристиками, для построения решения аналитическими методами предложен метод сведения исходных уравнений с переменными коэффициентами к рекуррентной последовательности линеаризованных операторных уравнений. При этом использована обобщенная динамическая теорема взаимности. В результате исходная задача сведена к сходящейся рекуррентной последовательности линеаризованных задач для операторных уравнений. Для решения последних использован метод функций влияния. При этом решение каждой последующей задачи в этой последовательности зависит от решения предыдущей задачи. В результате на каждой итерации задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма I рода относительно искомой переменной характеристики стержня, в качестве которой может выступать плотность материала, модуль упругости или переменная площадь поперечного сечения. Для решения интегрального уравнения использован метод механических квадратур в сочетании с регуляризацией по Тихонову [5, 6]. 6. Дополнительно. Проведены исследования нестационарных колебаний анизотропных пластин, в том числе связанных с упруго-инерционными основаниями [7, 8]. Исследован процесс нестационарного деформирования анизотропной цилиндрической оболочки, имеющей локальные подкрепления [9]. Рассмотрены нестационарные задачи термоупругости для слоя с усложненными свойствами [10]. В пространстве обобщенных функций построены поверхностные функции влияния для однородных упругих изотропных полуплоскости и полупространства. С учетом свойств обобщенных функций с точечным носителем выделены сингулярные составляющие изображений перемещений. Показано, что они соответствуют перемещениям абсолютно твердого тела. [11] Список литературы 1. Mihajlova E.Yu., Tarlakovskii D.V., Fedotenkov G.V. A generalized linear model of dynamics of thin elastic shells // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018. – 160 (3). – P. 561–577. 2. Quoc Chien Mai, Marina Yu. Ryazantseva, Dmitry V. Tarlakovskii Generalized Linear Model of Dynamics of Elastic Moment Shells // Advanced Structured Materials, V. 186. Deformation and Destruction of Materials and Structures Under Quasi-staticand Impulse Loading. - Springer Nature Switzerland AG, 2023. – P. 159 – 171. doi.org/10.1007/978-3-030-38708-2. 3. Sergey A. Davydov, Anatoliy V. Vestyak and Andrei V. Zemskov. Unsteady Longitudinal Mechanodiffusion Vibrations of a Rectangular Plate with Inner Diffusion Flux Relaxation // Deformation and Destruction of Materials and Structures Under Quasi-static and Impulse Loading. Advanced Structured Materials, vol. 186 / Edited by Holm Altenbach, Victor A. Eremeyev, Leonid A. Igumnov, Anatoly Bragov. Springer Nature Switzerland AG, 2023. – pp. 127-143. doi: 10.1007/978-3-031-22093-7_9 4. Zemskov A.V., Le Van Hao, Tarlakovskii D.V. Bernoulli-Euler Beam Unsteady Bending Model with Consideration of Heat and Mass Transfer // Journal of Applied and Computational Mechanics – 2023. - Vol. 9, No 1. – P. 168-180. DOI: 10.22055/jacm.2022.40752.3649, COI: JR_JACM-9-1_011, ISSN: 2383-4536. 5. Вахтерова, Я. А. Обратные нестационарные задачи для упругих стержней / Я. А. Вахтерова, Г. В. Федотенков // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: Материалы XXIX Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова, Кремёнки, 15–19 мая 2023 года. – Москва: Общество с ограниченной ответственностью "ТРП", 2023. – С. 8-9. – EDN QHUAUJ. 6. Федотенков Г.В., Вахтерова Я.А. Идентификация нестационарных нагрузок и дефектов в упругих стержнях // Ломоносовские чтения. Научная конференция. Секция механики. 4–23 апреля 2023 года. Тезисы докладов. — Москва: Издательство Московского университета, 2023. — С. 161-162. 7. Макаревский Д.И., Сердюк Д.О., Федотенков Г.В. Волны в анизотропной пластине Тимошенко большой протяженности // Механика композиционных материалов и конструкций. – 2023. – Т. 29, № 1. – С. 54-68. – DOI 10.33113/mkmk.ras.2023.29.01.04. – EDN RWQHZL. 8. Serdyuk D. O., Fedotenkov G.V. Transient Deformation of Anisotropic Timoshenko’s Plate // International Journal of Structural Stability and Dynamics. – 2023. – Vol. 23. – No. 13, 2350151. – DOI 10.1142/S0219455423501511 9. Lokteva N. A., Serdyuk D. O., Skopintsev P. D. Transient Deformation of an Anisotropic Cylindrical Shell with Structural Features // Journal of The Institution of Engineers (India): Series C. ‒ 2023. ‒ T. 104, № 2. ‒ C. 455-466. DOI: 10.1007/s40032-023-00915-2. 10. Нестационарные задачи термоупругости для слоя с усложненными свойствами / Ю. А. Абдиркина, А. В. Земсков, Д. Т. Ле, Г. В. Федотенков // Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред: Материалы XXIX Международного симпозиума им. А.Г. Горшкова, Кремёнки, 15–19 мая 2023 года. – Москва: Общество с ограниченной ответственностью "ТРП", 2023. – С. 54-56. – EDN EJAWXI. 11. Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Обобщенные поверхностные функции влияния для упругого полупространства // Известия высших учебных заведений. Математика. – 2023. – № 4. – с. 27-36. DOI: 10.26907/0021-3446-2023-4-27-36 = Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Generalized Surface Green’s Functions for an Elastic Half-Space // Russian Mathematics, 2023, Vol. 67, No. 4, pp. 22–30. DOI: 10.3103/S1066369X23040084.
5 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Динамика и контактное взаимодействие тел и элементов конструкций с усложненными свойствами
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".