| 1 |
28 мая 2020 г.-31 декабря 2020 г. |
Геометрия и интегрируемость |
| Результаты этапа: За отчетный период получен ряд важных новых результатов по нескольким направлениям исследований.
Известно, что имеется интересная связь между рациональной системой Калоджеро-Мозера (КМ) с гармонической добавкой и тригонометрической системой Калоджеро-Мозера-Сазерленда ((КМС). Предложена новая формулировка этого соответствия Лассаля-Некрасова: действие квантовых гамильтонианов было продолжено с пространства симметрических полиномов на большее пространство квазиинвариантных полиномов в случае целочисленного параметра взаимодействия. Введен и исследован новый важный класс А-эрмитовых полиномов, являющихся собственными функциями соответствующего квантового гамильтониана КМ. Эти полиномы могут быть определены для конфигурации гиперплоскостей с кратностями, и могут рассматриваться как обобщения на многомерный случай классических полиномов Эрмита.
Получена частичная классификация интегрируемых гамильтонианов КМС, отвечающих конфигурациям на вещественной плоскости в дополнительном предположении отсутствия параллельных векторов.
Получена полная классификация интегрируемых обобщений магнитного монополя Дирака на двумерной сфере с произвольной метрикой и ненулевым магнитным полем постоянной плотности, имеющих дополнительный квадратичный по импульсам интеграл. Ответ состоит из двух семейств. Первое семейство описывает монополь Дирака в гармоническом поле, эквивалентный интегрируемому случаю Клебша движения твердого тела в жидкости. Второе семейство является новым и описывается явно в эллиптических функциях. В предельном случае получается новое интересное обобщение задачи Эйлера двух неподвижных центров на сфере в дополнительном магнитном поле Дирака. Ранее известные обобщения задачи Эйлера на двумерной сфере, найденные Киллингом (и переоткрытые Козловым и Хариным), теряют интегрируемость при добавлении магнитного поля.
Найдены естественные глубокие связи обобщенных уравнений Виттена-Дейкграфа-Э.Верлинде-Г.Верлинде (обобщенных систем ВДВВ) и соответствующих обобщений фробениусовых многообразий, возникающих в современных моделях математической физики и теории поля, с фундаментальными уравнениями теории подмногообразий в псевдоевклидовых пространствах.
Получены продвижения в исследовании трехмерных метрик диагональной кривизны и связанных с ними полугамильтоновых систем гидродинамического типа. Развиты методы построения полугамильтоновых систем по алгебро-геометрическим данным.
В классе одновременно диагонализуемых пар псевдоримановых метрик получено полное решение задачи эффективного описания пар метрик с согласованными кривизнами и задачи о связи условий согласованности кривизн пары псевдоримановых метрик с условиями согласованности связностей Леви-Чивиты этой пары псевдоримановых метрик (условиями почти согласованности этой пары метрик).
Введено понятие расширенной группы Гивенталя и построено её действие на пространстве решений открытых уравнений ассоциативности. Доказана транзитивность действия на подпространстве полупростых решений. Для произвольного полупростого решения построено продолжение по родам. Для DR иерархии, соответствующей произвольной однородной когомологической теории поля, предложена явная конструкция пары пуассоновых оператов, гипотетически задающих бигамильтонову структуру иерархии.
Описаны в явном виде в терминах образующих и соотношений характеристические алгебры экспоненциальных систем порядка 3, соответствующие обобщенным матрицам Картана. Показано, что для этих систем, как и для уравнений sin-Гордон и Цицейки, размерности пространств кратных коммутаторов растут линейно. Построены операторы, переводящие симметрии в симметрии и повышающие порядок, что доказывает существование бесконечной иерархии высших симметрий. Получено полное описание высших симметрий для этих систем.
Получены неравенства на индекс и вырожденность функционала площади тау-поверхностях Лоусона. Найден явный ответ в случае Лоусоновой бутылки Клейна тау_{2,1}: вырожденность равна 5, индекс равен 7.
|
| 2 |
1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. |
Геометрия и интегрируемость |
| Результаты этапа: Совместно с М. Халлнасом (Гетеборг, Швеция) А.П. Веселовым и М.В. Фейгиным полностью завершено исследование соответствия Лассаля-Некрасова и его связи с автоморфизмами алгебры Чередника. Начато исследование спектрального разложения квазиинвариантных полиномов при действии гамильтониана КМС в малых размерностях, включая описание возникающих жордановых клеток, рассмотрены первые одномерные примеры. Продолжено изучение интегрируемых гамильтонианов КМС, отвечающие локусным конфигурациям на вещественной плоскости. Завершена классификация таких систем в предположении наличия не более двух коллинеарных векторов вдоль каждой прямой. Отношение длин таких векторов предполагается равным двум, что охватывает все известные примеры. Начато изучение биспектральной двойственности систем КМС для конфигурации векторов $AG_2$, возникающей в классификации.
Продолжено исследование интегрируемой динамики на двумерных поверхностях. В частности, совместно с А.В. Болсиновым и И. Иру (Лафборо, Великобритания), А.П. Веселовым исследована связь магнитных геодезических потоков на поверхностях постоянной отрицательной кривизны с геодезическими потоками на трехмерных многообразиях с $SL(2,R)$-геометрией в смысле Терстона. Доказано, что в этом случае в фазовом пространстве имеются две открытых области с интегрируемой и хаотической динамикой соответственно. В частном случае модулярного многообразия показано, что в интегрируемом пределе обобщенного соответствия Жиса периодические геодезические задают кабельные узлы трилистника.
Совместно с Л. Ву (Хуачао, Китай), А.П. Веселовым исследовано поведение геодезических на гиперболоидах в евклидовом пространстве. Получено явное описание соответствующего отображения рассеяния в терминах вещественной версии отображения Абеля. Открыта связь отображения Кноррера с проективно-эквивалентными метриками на квадриках, найденными Табачниковым, Матвеевым и Топаловым. Показано, что соответствующая метрика и отображение Кноррера продолжаются на компактификацию гиперболоида в проективном пространстве.
Введены новые важные обобщения фробениусовых многообразий, которые не являются плоскими, для которых фробениусова структура на касательных пространствах задается неплоской псевдоримановой метрикой и некоторым структурным тензором на многообразии и является неассоциативной и которые локально описываются неплоскими уравнениями Виттена-Дейкхрафа-Э.Верлинде-Г.Верлинде (неплоскими уравнениями ВДВВ), возникающими в многомерной суперсимметричной механике в искривленном пространстве. Доказано, что неплоские уравнения ВДВВ естественным образом возникают в дифференциальной геометрии подмногообразий и являются естественными редукциями фундаментальных уравнений теории подмногообразий в псевдоевклидовых пространствах, а именно, уравнений Гаусса, уравнений Петерсона-Майнарди-Кодацци и уравнений Риччи, причем это именно тот самый замечательный специальный случай в теории подмногообразий, когда уравнения Гаусса и Риччи совпадают. Доказано, что любое решение неплоских уравнений ВДВВ задает некоторые специальные подмногообразия с потенциалом нормалей в псевдоевклидовых пространствах, которые являются неплоскими фробениусовыми многообразиями и на касательных пространствах которых фробениусова структура задается первой и вторыми квадратичными формами подмногообразия. Более того, доказано, что любое неплоское фробениусово многообразие реализуется как некоторое специальное подмногообразие с потенциалом нормалей в псевдоевклидовом пространстве, при этом фробениусова структура задается первыми и вторыми квадратичными формами подмногообразия. Это обобщает конструкции О.И.Мохова для плоских многообразий Дубровина-Фробениуса. Показано, что неплоские уравнения ВДВВ являются интегрируемыми методом обратной задачи рассеяния, построена пара Лакса для них.
Были проверены открытые равенства Вирасоро для продолжения по родам произвольного полупростого решения открытых уравнений ассоциативности. Также, в рамках развития идей, связанных с гипотезой об эквивалентности для иерархий топологического типа, было предложено некоммутативное обобщение гипотезы Виттена.
Характеристические алгебры экспоненциальных систем, соответствующих матрицам Картана аффинных алгебр Ли серии $\tilde А$, описаны в явном виде в терминах образующих и соотношений. Доказано, что размерности подпространств кратных коммутаторов в этом случае имеют линейный рост. Найдены высшие симметрии экспоненциальных систем, отвечающих матрицам Картана серии $\tilde A$, и показано, что они образуют бесконечную иерархию: найден повышающий порядок псевдодифференциальный оператор, переводящий симметрии в симметрии.
Были улучшены полученные ранее оценки на индекс и вырожденность функционала площади на
семействе минимально погруженных в трёхмерную сферу тау-поверхностей Лоусона, являющихся
минимальными торами или минимальными бутылками Клейна. Были оценены, частично численно, индекс и вырожденность функционала площади для семейства минимально погруженных в четырёхмерную сферу биполярных поверхностей Лоусона, являющихся минимальными торами или минимальными бутылками Клейна.
|
| 3 |
1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. |
Геометрия и интегрируемость |
| Результаты этапа: Исследовано спектральное разложение квази-инвариантных полиномов при действии гамильтониана Калоджеро-Мозера-Сазерленда (КМС) в простейших случаях. Классифицированы многомерные вещественные алгебраически интегрируемые операторы КМС для деформаций классических систем корней. Введены и изучены разностные операторы Макдональда-Рудженаарса, связанные с конфигурацией векторов AG2. Установлено, что эти операторы сохраняют соответствующие пространства квазиинвариантов. Построена функция Бейкера-Ахиезера для данной системы, изучены ее свойства и доказана биспектральность. Доказана максимальная суперинтегрируемость квантовых систем типа Калоджеро-Мозера, а также их обобщений с помощью нового обобщенного вектора Лапласа и алгебр Чередника.
Сконструировано продолжение по родам для произвольного полупростого решения открытых уравнений ассоциативности и доказан ряд базовых свойств построенных формальных рядов. Выдвинута гипотеза о том, что числа пересечений с классами Пикстона на пространствах модулей стабильных алгебраических кривых контролируются специальным решением некоммутативной иерархии Кортевега—де Фриза. В рамках исследования гипотезы об эквивалентности между DR-иерархиями и DZ-иерархиями, соответствующими произвольной заданной когомологической теории поля, выдвинута гипотетическая формула для произведения класса Эйлера расслоения Ходжа на пространстве модулей кривых и двухточечного цикла двойных ветвлений.
В рамках проекта развит алгебро-геометрический подход к преобразованиям Рибокура и кубам Бьянки алгебро-геометрических n-мерных ортогональных сетей в (n+N)-мерных евклидовых и псевдоевклидовых пространствах, построенных по алгебро-геометрическим данным в соответствии с алгебро-геометрической конструкцией Глухова-Мохова, обобщающей хорошо известную алгебро-геометрическую конструкцию Кричевера построения ортогональных криволинейных систем координат в евклидовом пространстве по алгебро-геометрическим данным. В частности, описаны преобразования алгебро-геометрических данных, которые приводят к преобразованиям Рибокура и кубам Бьянки алгебро-геометрических ортогональных сетей. В рамках этого подхода построен класс алгебро-геометрических пар Рибокура. Кроме того, для любой начальной ортогональной сети, построенной по алгебро-геометрическим данным в соответствии с алгебро-геометрической конструкцией Глухова-Мохова, построены m-кубы Бьянки, которые определяются специальными наборами преобразований этих алгебро-геометрических данных.
Были описаны в явном виде (в терминах образующих и соотношений) характеристические алгебры экспоненциальных систем, соответствующих некоторым сериям аффинных алгебр Ли. Были построены бесконечные иерархии высших симметрий этих систем. Была изучена связь скорости роста характеристических алгебр (как градуированных алгебр Ли) со структурой высших симметрий.
С помощью разделения переменных и дальнейшего анализа свойств решений и спектра полученных одномерных задач Штурма-Лиувилля, для лоусоновых минимальных тау-поверхностей в трехмерной сфере, образующих двухпараметрическое семейство лоусоновых торов и лоусоновых бутылок Клейна, для малых значений параметров найдены точные значения индекса и дефекта функционала площади, для общих значений параметра улучшены полученные в предыдущие годы оценки индекса и дефекта. Аналогичные, и даже более сильные результаты были получены для торов, двулистно накрывающих лоусоновы тау-поверхности. Для биполярных лоусоновых минимальных поверхностей в четырёхмерной сфере, образующих двухпараметрическое семейство биполярных лоусоновых торов и биполярных лоусоновых бутылок Клейна, получены оценки индекса и дефекта с помощью связи со спектральной геометрией индуцированных на этих поверхностях метрик. |
