Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2021-2025НИР

The general theory of topological spaces, dimension and operations and its application to functional analysis and topological algebra.

Источник финансирования НИР

госбюджет, раздел 0110 (для тем по госзаданию)

Этапы НИР

# Сроки Название
1 1 января 2021 г.-31 декабря 2021 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2021
Результаты этапа: Доказано, что если в гиперпространстве Фелла любое F_σ-множество паранормально, то исходное пространство локально компактно и линделефово и если гиперпространство Фелла наследственно паранормально, то исходное пространство локально компактно и удовлетворяет второй аксиоме счетности. Доказано, что во многих классах топологических пространств (в частности для класса всех топологических пространств веса меньшего или равного некоторого фиксированного кардинала), непрерывно содержащих топологические группы, существуют правильно универсальные элементы. Строятся правильные универсальные элементы для различных классов пучков Абелевых групп. Описаны новые легко конструируемые серии канторовых множеств в R^3, у которых все проекции связны и одномерны. Это самоподобные канторовы множества, восходящие к работам Л.Антуана, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям. (Ранее была обоснована необходимость следить за формой, размерами и расположением допредельных полноториев, а именно, было показано, что произвольное канторово множество в R^N произвольно малой изотопией R^N можно перевести на такое канторово множество, проекция которого на любую m-плоскость m-мерна; теперь же свойство самоподобия заменит этот контроль). Изучены собственное классы Громова-Хаусдорфа, состоящие из всех метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрии. В этом классе вводится обобщенная псевдометрика Громова-Хаусдорфа и исследуется геометрия результирующего пространства. Первым основным результатом является доказательство полноты пространства, т.е. того, что все фундаментальные последовательности сходятся. Затем пространство разбивается на максимальные собственные подклассы, состоящие из пространств, находящихся на конечном расстоянии друг от друга. Такие подклассы названы облаками. Мультипликативная группа подобия оперирует облаками, умножая все расстояния каждого метрического пространства на некоторое положительное число. Приводены примеры отображений подобия, переводящих одни облака в другие. В некоторой модели теории множеств доказывается, что регулярные Fσ-паранормальные вне диагонали счетно компактные пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности и являются компактами. Совместимо с ZFC и не зависит от ZFC, что регулярное Fσ-паранормальное вне диагонали счетно компактное пространство является компактом. С помощью метода построения Содержащих Пространств (развитого в книге S.D. Iliadis, Universal Spaces and Mappings, North-Holland Мathematics Studies 198, Elsevier, 2005) построены универсальные объекты в различных категориях. Одна из этих категорий, это известная категория пучков Абелевых групп, которая играет большую роль в изучение когомологических теорий общих топологических пространств. Другая, это категория пространств, непрерывно содержащих топологические группы, и их правильных непрерывных отображении. Вычислены некоторые коммутаторы в многомерной группе Дженнингса. Доказано, что для любого отображения единичного отрезка на единичный квадрат найдется пара точек отрезка, для которой квадрат евклидова расстояния между их образами превосходит расстояние между ними на отрезке не менее, чем в 3.625 раз. Дополнительное условие на принадлежность образов начала и конца отрезка противоположным сторонам квадрата повышает оценку выше четырех. Доказана вторая теорема об изоморфизме решеточно упорядоченных колец для случая l-подкольца и l-идеала. Исследуется размерность Минковского некоторых подмножеств p-адических пространств и строится серия фрактальных подмножеств с различными значениями размерности Минковского. Завершено доказательство теоремы Бинга 1952 г. о склейке двух рогатых тел Александера. Изобретенная Бингом техника, позже названная критерием сжимаемости, сыграла важную роль в решении центральных топологических задач, среди которых — 4-мерная топологическая гипотеза Пуанкаре (М. Фридман, 1982). Изучен вопрос существования канторова множества в R^n, проекции которого на всякую m-плоскость имеют размерность k>0. Эта задача поставлена Дж. Коббом в 1994 г. и решена лишь для некоторых троек (n,m,k). Сделан обзор известных примеров и описаны новые конструкции. Введено понятие пары многозначных отображений метрических пространств типа Замфиреску и доказана теорема о существовании точек совпадения для таких пар отображений. Эта теорема является обобщением теоремы К. Няммани и А. Кевхао о неподвижной точке многозначного отображения Замфиреску. Доказана теорема о сохранении существования точек совпадения у однопараметрического семейства пар многозначных отображений типа Замфиреску в заданном открытом множестве метрического пространства. Исследована возможность продолжения непрерывных функций на произведениях псевдокомпактных пространств. В частности, доказано, что для любого натурального числа n любая непрерывная функция на произведении псевдокомпактных пространств продолжается до раздельно непрерывной функции на произведении из стоун-чеховских (максимальных) компактификаций. Получены дальнейшие продвижения в решении проблемы, которая активно исследуется на протяжении последних 85 лет: выяснить условия на топологию на группе, при которых из непрерывности умножения вытекает непрерывность операции взятия обратного элемента (т.е. при которых паратопологическая группа является топологической). Продолжено построение теории свободных булевых топологических групп.
2 1 января 2022 г.-31 декабря 2022 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2022)
Результаты этапа: В некоторой модели теории множеств доказано, что регулярные, F_σ-паранормальные вне диагонали, счетно-компактные пространства удовлетворяют первой аксиоме счетности и компактны. Вводятся новые классы топологических пространств, обобщающие экстремальную несвязность. Исследуются свойства этих пространств, в частности, показано, что они обладают свойством наследственности. Доказано также, что эти классы не сохраняются стоун-чеховскими расширениями и открытыми отображениями, в отличие от класса экстремально несвязных пространств. На данные классы пространств удаётся распространить известные результаты, связанные с неоднородностью. Изучены основные свойства дискретных ультрафильтров. Также введены три класса промежуточных пространств $R_1$, $R_2$ и $R_3$, расположенные строго между между $\beta\omega$- и $F$-пространствами. Доказано, что произведение бесконечных компактных $R_2$-пространств неоднородно. Более того, в предположении $\mathfrak d =\mathfrak u=\mathfrak c$ произведение $\beta\omega$-пространств неоднородно. Доказано, что для любого насыщенного класса S-пространств в категории (S, cl) существуют универсальные объекты. Доказано, что слабо нормальный вне диагонали компакт удовлетворяет первой аксиоме счетности. Доказано, что для любого сепарабельного метризуемого пространства Y и для любых счетных ординалов alpha и beta в непустом классе всех сепарабельных метризуемых пространств Х, для которых ind(X)=alpha и ind(YxX)=beta существует универсальный элемент. Доказано, что для любого вполне регулярного пространства Y и для любых ординалов alpha и beta в непустом классе всех вполне регулярных пространств Х, для которых ind(X)=alpha и ind(YxX)=beta существует универсальный элемент. Доказано, что совместимо с ZFC, что слабо нормальное вне диагонали счетно компактное пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности и является компактом. Доказано, что утверждение, что слабо нормальное вне диагонали счетно компактное пространство является компактом совместимо с ZFC и не зависит от ZFC. Доказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X польское пространство, Y пространство со свойством Бэра и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Доказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X полно по Чеху пространство, Y пространство со свойством Бэра, X \omega-ограниченно и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Доказано, что, если X,Y есть G-однородные пространства, X K-аналитическое пространство, Y пространство со свойством Бэра и f: X->Y есть биективное непрерывное G-отображение, то отображение f открыто. Описаны все пространства на  нулевом расстоянии Громова–Хаусдорфа от ежей положительных рациональных чисел Q_+ и всех положительных чисел R_+. Изучается геометрия собственного класса всех метрических пространств, наделенного расстоянием Громова-Хаусдорфа, а также разных его фактор-пространств. Развивается теория, позволяющая наделять некоторые собственные классы (фильтрованные множествами) аналогом топологии. Показывается, что расстояние Громова-Хаусдорфа является полной внутренней обобщенной псевдометрикой. Особое внимание уделяется эквивалентности, отождествляющей метрические пространства на конечном расстоянии друг от друга. Классы этой эквивалентности мы называем облаками. Анализируется возможность доказательства утверждения М.Громова о стягиваемости облаков. Обсуждается отображение подобия, которое каждому метрическому пространству ставит в соответствии то же множество, но с расстояниями, умноженными на данное положительное число. Это отображение является естественным претендентом на участие в доказательстве стягиваемости (например, с его помощью доказывается стягиваемость облака ограниченных метрических пространств). Показывается, что в общем случае отображение подобия не может дать желаемого результата, так как при изменении расстояний в одно и то же число раз полученное метрическое пространство может оказаться на бесконечном расстоянии от исходного, что приводит к разрывности отображения подобия. Так как подобие задает действие мультипликативрной группы положительных вещественных чисел на классах Громова-Хаусдорфа, определены станционарные подгруппы этого действия. Приведены примеры вычисления этих подгрупп, а также доказано, что каждое облако имеет "центр" - метрическое пространство (рассматриваемое с точностью до соответствующей эквивалентности), стационарная подгруппа которого совпадает со стационарной подгруппой облака. Доказано, что расстояние Громова-Хаусдорфа является обобщенной псевдометрикой, зануляющейся на парах изометрических пространств. Рассматриваются гомотопии, связывающие два отображения.  Доказывается, что в определенных классах гомотопий (связанных с насыщенными классами пространств) существуют правильно универсальные элементы.  Доказано, что свободное топологическое векторное пространство B(X) над полем F2={0,1}, порожденное кружевным пространством X, является кружевным и, следовательно, для всякого замкнутого подпространства F⊂B(X) (в частности, для F=X) и любого локально выпуклого пространства E существует линейный оператор C(F,E)→C(B(X),E) продолжения непрерывных отображений. Изданы учебники для студентов Филиала в Баку. Определен широкий класс пространств — ∆-бэровские пространства. Паратопологические группы из этого класса являются топологическими. Класс ∆-бэровских пространств включает локально псевдокомпактные пространства, бэровские p-пространства,бэровские Σ-пространства и произведения полных по Чеху пространств. Доказано, что если гомеоморфизм f конечномерного нормального пространства или конечномерного F-пространства X не имеет неподвижных точек и на X существует непрерывная метрика, относительно которой f остается гомеоморфизмом, то продолжение f на стоун-чеховскую компактификацию пространства X тоже не имеет неподвижных точек. Отсюда вытекает, в частности, что всякая конечномерная F-группа счетного псевдохарактера содержит открытую булеву подгруппу.
3 1 января 2023 г.-31 декабря 2023 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре (2023)
Результаты этапа: 1) Построен пример абелевой топологической группы G и её замкнутой подгруппы H, для которых dim_0 H > dim_0 G. 2) Рассмотрен следующий вопрос: верно ли, что для любого метрического компакта X емкостной размерности dim_B X=a и любых двух чисел b,c таких, что 0 ≤ b ≤ c ≤ a в X существует замкнутое подмножество, нижняя емкостная размерность которого равна b, а верхняя емкостная размерность равна c? Получен положительный ответ на этот вопрос при b=0. В общем случае этот результат является окончательным. Построен пример метрического компакта, емкостная размерность которого равна 1, и при этом любое непустое собственное замкнутое подмножество этого компакта имеет нижнюю емкостную размерность, равную нулю. 3) Для общей метрики на геометрической прогрессии исследован стабилизатор облака всех метрических пространств, находящихся на конечном расстоянии от вышеуказанного пространства. 4) Введены новые классы топологических пространств R_1, R_2, R_3, обобщающие класс F-пространств. Доказано, что все однородные компактные подпространства пространств из этих классов и их некоторых произведений конечны. Получены результаты о сравнимости в смысле Рудин–Кейслера ультрафильтров, по которым в R_2- и R_3-пространствах сходятся разные последовательности к одной и той же точке. 5)Ультрафильтр p на ω называется дискретным, если, каковы бы ни была функция f: ω → X в любое тихоновское топологическое пространство, найдется элемент A ∈ p такой, что множество f(A) дискретно. Изучены основные свойства дискретных ультрафильтров. Введены промежуточные классы R1 ⊂ R2 ⊂ R3 пространств между классом F-пространств и классом βω-пространств ван Дауэна. Доказано, что произведение бесконечных компактных R2-пространств не бывает однородным; более того, в предположении d = c произведение βω-пространств не бывает однородным. 6) Доказано, что для любого пространства Y веса τ, любых ординаров α и β и любого насыщенного класса S пространств веса τ в непустой классе всех элементов X∈S, для которых ind(X) = α и ind(Y×X)=β существует универсальный элемент. Доказано, что для любого регулярного пространства Y веса ≤τ и любых ординаров α и β в непустом классе всех регулярных пространств Х веса ≤τ, для которых ind(X) = α и ind(Y×X)=β существует универсальный элемент. Доказано, что для любого Т0-пространства Y веса ≤τ и любых ординаров α и β в непустом классе всех Т0-пространств веса ≤τ, для которых ind(X) = α и ind(Y×X)=β существует универсальный элемент. Найден ряд примеров насыщенных классов. 7) Рассмотрены топологические группы, пространства которых являются базисно несвязными, F- или F'-пространствами, но не P-пространствами. Доказано, в частности, что существование линделёфовой базисно несвязно топологической группы, не являющейся P-пространством, равносильно существованию булевой базисно несвязной линделёфовой группы счётного псевдохарактера, что свободные и свободные абелевы топологические группы нульмерных пространств, не являющихся P-пространствами, не бывают F'-пространствами, и что существование свободной булевой F'-группы, не являющейся P-пространством, равносильно существованию селективных ультрафильтров на ω. 8) Доказано, что существование слабо нормального вне диагонали, счётно компактного пространства является счётным и компактным, согласуется с аксиомой выбора. 9) Доказано, что, если сумма ⊕Xα P-вложена в свободную булеву топологическую группу X, то σ-произведение X^α вложено в B(X). В частности, если сумма X⊕...⊕X P-вложена в X, то произведение X×...×X вложено в B(X). 10) Доказано, что свободная булева топологическая группа B((0,1)) вкладывается в B([0,1]) в качестве замкнутой подгруппы. 11) Доказано, что пространство X_* × X_*. не вкладывается в B(X_*), где X_* = ω∪{p}, U — рамсеевский ультрафильтр на ω, все точки x∈ω. 12) Доказано, что, если Х есть псевдокомпактная топологическая группа, то Х содержит счетное не замкнутое подмножество. 13) Доказано, что певдокомпактная орбита Коровина не гомеоморфна топологической группе. 14) Доказано, что, если Х есть псевдокомпактное мальцевское пространство и каждое счетное подмножество Х дискретно и замкнуто, то для каждого счетного S⊂X пространство Š^{βX} есть метризуемый компакт и S не C*-вложено в X. 15) Доказано, что псевдокомпактная орбита Коровина не гомеоморфна мальцевскому пространству. 16) Доказано, что счетно компактное пространство является коровинским. 17) Доказано, что псевдокомпактная орбита Коровина не является коровинским пространством. 18) Доказано, что не дискретное шахматовское пространство не является слабо pc-Гротендика. 19) Доказано, что псевдокомпактная орбита Коровина является шахматовским пространством. 20)Для компактной хаусдорфской правой топологической (CHART) группы G доказано, что ω(G)=πχ(G). Это равенство хорошо известно для компактных топологических групп. Отсюда вытекает критерий метризуемости CHART-групп: если G имеет счетный π-характер, то G метризуема. При предположении континуум гипотезы (CH) секвенциально компактная CHART-группа является метризуемой. Теорема Намиоки о том, что метризуемые CHART-группы являются топологическими группами, распространяется на CHART-группы с малым весом. 21) Доказано, что, если Х — паракомпактное пространство, F — нормальный функтор степени ≥ 3 в категории P паракомпактных p-пространств и пространство F(X) наследственно нормально, то пространство Х метризуемо. 22) Продолжена работа с f–непрерывными функциями (финально непрерывными) на отображениях. С помощью таких функций получен вариант теоремы Брауэра–Титце–Урысона для отображений и другие функциональные характеризации свойств нормальности отображений. 23) Полностью описываются коммутаторы основных подгрупп многомерной группы Дженнингса. 24) Изучены топологические игры, возникающие при исследовании непрерывности операций в группах с топологией, таких как псевдотопологические и полутопологические группы. Эти игры являются модификациями игры Банаха-Мазура. Для рассматриваемых игр найдены эквивалентные игры, что облегчает изучение взаимосвязи между полученными классами пространств и определение, какие пространства принадлежат этим классам. Для этой цели введена модификация игры Банаха-Мазура с четырьмя игроками. Полученные результаты находят применение при исследовании непрерывности операций в группах с топологией. 25) Рассмотрены классы пространств, в которых существуют универсальные отмеченные пространства. 26) Рассмотрены основные проблемы, связанные с ℝ-факторизуемыми группами. В частности, доказано, что ℝ-факторизуемая группа веса ≤ 2ω не может содержать локально конечное семейство открытых множеств мощности 2ω. Отсюда вытекает, что в предположении CH всякая ℝ-факторизуемая группа веса ≤ 2ω имеет счётное дискретное число Суслина. 27) Доказано, что, если произведение топологических групп GxH факторизуемо, то 1) либо у H либо у G счетное дискретное число суслина; 2) dim GхH ≤ dim G + dim H. В частности, если G^2 ℝ-факторизуемо, то у G счетное дискретное число суслина. Рассматриваются также другие факты о ℝ-факторизуемых группах. 28) Доказано существование свободного квазимальцевского пространства, порожденного произвольным тихоновским пространством, и показано, что всякое квазимальцевское пространство является факторпространством свободного квазимальцевского пространства. Кроме того, показано, что топология свободного квазимальцевского пространства имеет простое и естественное описание в терминах порождающего пространства. Наконец, доказано, что всякое тихоновское квазимальцевское пространство является ретрактом квазитопологической группы. 29) Рассматрены условия на пространство X, которые влекут предкомпактность псевдокомпактных подпространств пространства C_p(X) непрерывных функций в топологии поточечной сходимости. Доказано, что, если X псевдокомпактное пространство, содержащие плотное линделефово \Sigma-подпространство, то любое псевдокомпактное подпространство C_p(X) является компактом. Построено K_{\sigma\delta} (то есть пересечение счетного числа \sigma-компактных пространств, в частности линделефово \Sigma) пространство K, так что C_p(X) содержит замкнутое псевдокомпактное локально компактное не компактное подпространство.
4 1 января 2024 г.-31 декабря 2024 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2024
Результаты этапа: В 2024 году были получены следующие результаты. 1. Исследованы квазитопологические алгебры, т.е. универсальные алгебры с топологией, относительно которой все операции раздельно непрерывны. Описана конструкция свободной квазитопологической алгебры $F_V(X)$ произвольного топологического пространства $X$ в данном полном многообразии $V$ квазитопологических алгебр. Доказано, что $F_V(X)$ имеет топологию индуктивного предела относительно естественного разложения на множества полиномов ступени $n$, $n \in\omega$. Кроме того, исследованы вопросы, связанные с отделимостью свободных квазитопологических алгебр и доказано, что всякое тихоновское пространство $X$ с раздельно непрерывной операцией Мальцева гомеоморфно ретракту тихоновской квазитопологической группы. Доказаны следующие теоремы: Теорема 1. Пусть $А$ --- квазитопологическая алгебра, $\sim$ --- конгруэнция на $А$ и $B$ --- факторалгебра $А/\sim$ с фактортопологией относительно канонического гомоморфизма. Тогда B является квазитопологической алгеброй, то есть операции на $B$ раздельно непрерывны. Теорема 2. Пусть $V$ --- многообразие квазитопологических алгебр. Тогда класс всех абстрактных алгебр, алгебраически изоморфных алгебрам из $V$, является многообразием абстрактных алгебр. Теорема 3. Пусть $V$ --- (нетривиальное) многообразие квазитопологических алгебр и $X$ --- топологическое пространство. Тогда существует свободная квазитопологическая алгебра $F_V(X)$ с непрерывным отображением $i: X \to F_V(X)$. Кроме того, 1) абстрактная алгебра $F_V(X)$ изоморфна свободной алгебре в многообразии $V$; 2) для каждого непрерывного отображения $f: X \to A$, где $A \in V$, гомоморфизм $h: F_V(X) \to A$, для которого $f = h \circ i$, единствен; 3) отображение $i$ инъективно; 4) алгебра $F(X)$ и отображение $i$ определены однозначно с точностью до топологического изоморфизма. Теорема 4 дает полное описание абсолютно свободной квазитопологической алгебры $W_V(X)$ в данном многообразии $V$. Теорема 5. Для любого топологического пространства $X$ и любого полного многообразия $V$ квазитопологических алгебр топология свободной квазитопологической алгебры $F_V(X)$ является фактортопологией относительно естественного гомоморфизма алгебры $W_V(X)$ на $F_V(X)$. Отметим, что для топологических алгебр это неверно. Теорема 6. Для любого полного многообразия $V$ квазитопологических алгебр и всякого топологического пространства $X$ свободная квазитопологическая алгебра $F_V(X)$ имеет топологию индуктивного предела относительно разложения алгебры $F_V(X)$ на множества значений полиномов ступени $\le n$. Теорема 8. Пусть $X$ --- тихоновское пространство, $V$ --- полное многообразие квазитопологических алгебр и $F_V(X)$ вместе с отображением $i$ --- свободная квазитопологическая алгебра пространства $X$ в $V$. Тогда $i$ --- гомеоморфное вложение, $i(X)$ замкнуто в $F_V(X)$ и $F_V(X)$ является хаусдорфовым пространством. Теорема 9. Всякое тихоновское квазимальцевское пространство $X$ гомеоморфно ретракту тихоновской квазитопологической группы. 2. Подробно изучено многообразие топологических мальцевских алгебр, т.е. топологических универсальных алгебр с мальцевским термом. Исследованы свойства этих алгебр и их связь с топологическими группами и топологическими грудами, а также изучены условия, при которых они имеют топологию индуктивного предела. Доказаны следующие теоремы. Теорема 1. Конгруэнции во всех топологических алгебр из данного многообразия топологических алгебр перестановочны тогда и только тогда, когда во всех этих алгебр имеется мальцевский терм. Теорема 2. Если конгруэнции во всех топологических алгебр из данного многообразия топологических алгебр перестановочны, то насыщение любого открытого подмножества любой топологической алгебры из этого многообразия относительно любой конгруэнции открыто. Теорема 3. Для каждого топологического пространства $X$ существует свободная мальцевская алгебра $M(X)$, причем она является алгебраически свободной алгеброй, порожденной множеством $X$. Если $X$ является тихоновским пространством, то $X$ замкнуто вложено в $M(X)$. Теорема 4 дает описание свободных мальцевских алгебр в классе тихоновских топологических алгебр. Теорема 5. На топологическом пространстве $X$ существует непрерывная операция Мальцева тогда и только тогда, когда $X$ является ретрактом подпространства всех многочленов ступени 1 в $M(X)$. Теорема 6. Для любого тихоновского пространства $X$ и любого натурального $n$ множество $M_n(X)$ всех многочленов ступени $\le n$ замкнуто в $M(X)$. Теорема 7 посвящена специальному свойству топологических груд. Теорема 8. Пусть $V$ --- класс мальцевских топологических алгебр, являющийся полным многообразием топологических алгебр. Тогда для любого топологического пространства $X$ свободная топологическая алгебра пространства $X$ в $V$ является топологической факторалгеброй свободной алгебры $M(X)$. В частности, если пространство $X$ тихоновское, то свободная топологическая груда пространства $X$ является топологической факторалгеброй свободной алгебры $M(X)$. Теорема 9. Если $X$ --- тихоновское пространство и $M(X)$ является индуктивным пределом своих подпространств $M_n(X)$, то свободная топологическая груда $G(X)$ является индуктивным пределом своих подпространств $G_n(X)$, состоящих из многочленов ступени $\le n$. 3. Рассмотрены расширения топологических универсальных алгебр, на которые можно непрерывно или раздельно непрерывно продолжить операции алгебры. Изучены $R$-факторизуемые алгебры, т.е. алгебры, которые обладают тем свойством, что любая непрерывная функция на алгебре факторизуется через гомоморфизм в сепарабельную метризуемую алгебру. 4. Топологическое пространство $X$ с фиксированной в нем точкой $a_X$ называется отмеченным пространством и обозначается через $(X; a_X)$. Пусть $S$ --- класс топологических пространств. Через $(S;*)$ обозначается класс всех отмеченных пространств $(X; a_X)$, где $X \in S$. Пусть $(S;*)$ --- класс отмеченных пространств. Будем говорить, что отмеченное пространство $(T; a_T)$ является универсальным в классе $(S;*)$, если $(T; a_T) \in (S;*)$ и для любого элемента $(X;a_X) \in (S;*)$ существует такое вложение $i$ пространства $X$ в $T$, что $i(a_X) = a_T$. Доказано существование универсальных отмеченных пространств в классах отмеченных пространств $(S;*)$ для следующих классов $S$: S1 --- класс всех $T_0$-пространств веса $\le \tau$; S2 --- класс всех регулярных пространств веса $\le \tau$; S3 --- класс всех вполне регулярных пространств веса $\le\tau$; S4 --- класс всех $T_0$-пространств веса $\le\tau$ размерности ind $\le$ $n \in\omega$; S5 --- класс всех регулярных пространств веса $\le \tau$ размерности ind $\le n \in\omega$; S6 --- класс всех вполне регулярных пространств веса $\le\tau$ размерности ind $\le$ $n \in \omega$; S7 --- класс всех $T_0$-пространств веса $\le\tau$ размерности ind = $\nu$, $\omega\le \nu\le\tau$; S8 --- класс всех $T_0$-пространств веса $\le\tau$, являющихся пересечением $\nu$ нульмерных пространств, $\omega\le\nu\le\tau$; S9 --- пересечение любого из классов S2--S6 с классом S7; S10 --- пересечение любого из классов S2--S6 с классом S8. 5. Скажем, что произведение топологических пространств $Y \times T$ правильно содержит произведение $Y \times X$, если существует вложение $i\times$ произведения $Y \times X$ в произведение $Y \times T$ и вложение $i$ пространства $X$ в пространство $T$ такие, что $i\times = id_Y \times I$, где id$_Y$ тождественное отображение $Y \to Y$. Пусть $S$ --- класс пространств. Элемент $Y \times T \in Y \times S$ называется правильно универсальным в классе $Y \times S$, если $Y \times T$ правильно содержит любое произведение $Y \times X \in Y \times S$. Доказана теорема, из которой вытекают следующие утверждения: Следствие 1. Пусть $Y$ --- сепарабельное метризуемое пространство, $n$ и $m$ --- неотрицательные целые числа и $S[Y; n; m]$ --- класс всех сепарабельных метризуемых пространств $X$ таких, что ind$(X) = n$ и ind$(Y × X) = m$. Тогда в классе $S[Y; n; m]$ существует универсальный элемент и, следовательно, произведение $Y \times T$ является правильно универсальным элементом в классе $Y \times S[Y; n; m]$. Следствие 2. Пусть $Y$ --- вполне регулярное пространство веса $\le\tau$, $n$ и $m$ --- неотрицательные целые числа и $S[Y; n; m]$ --- класс всех вполне регулярных пространств $X$ веса $\le\tau$ таких, что ind$(X) = n$ и ind$(Y \times X) = m$. Тогда в классе $S[Y; n; m]$ существует универсальный элемент и, следовательно, произведение $Y \times T$ является правильно универсальным элементом в классе $Y\times S[Y; n; m]$. Следствие 3. Пусть $Y$ --- регулярное пространство веса $\le\tau$, $n$ и $m$ --- неотрицательные целые числа и $S[Y; n; m]$ --- класс всех регулярных пространств $X$ веса $\le\tau$ таких, что ind$(X) = n$ и ind$(Y \times X) = m$. Тогда в классе $S[Y; n; m]$ существует универсальный элемент и, следовательно, произведение $Y \times T$ является правильно универсальным элементом в классе $Y \times S[Y; n; m]$. 6. Пусть $X$ --- циклически упорядоченное множество. Обозначим через $T$ решетку всех обобщенных топологий циклического порядка на $T$, т.е. топологий, содержащую порядковую топологию и имеющих базу из выпуклых множеств. Пусть $U$ --- множество щелей (в смысле дедекиндовых сечений) в $X$. Обозначим через $3^U$ множество всех отображений из $U$ в $\{0, 1, 2\}$ с частичным порядком поточечного сравнения функций. Доказана следующая теорема: Теорема. Частично упорядоченное множество $С(X)$ всех классов эквивалентности расширений циклически упорядоченного множества $X$ является полной решеткой, изоморфной решетке $Т \times 3^U$. При этом расширением множества $X$ называется циклически упорядоченное множество, содержащее $X$ в качестве всюду плотного (в порядковой топологии) подмножества. Пополнением называется полное (т.е. не содержащее щелей) расширение. Пополнение является компактификацией пространства $X$ относительно порядковой топологии. Из доказанной теоремы вытекают следующие утверждения: 1) семейство расширений (пополнений), индуцирующих на $X$ фиксированную обобщенную топологию циклического порядка, образует полную решетку; 2) каждое обобщенное циклически упорядоченное пространство $X$ является подпространством наименьшего пространства с обобщенной топологией циклического порядка; 3) решетки расширений (пополнений), соответствующие различным обобщенным топологиям циклического порядка на $X$, изоморфны; 4) получены оценки мощностей решеток расширений и пополнений циклически упорядоченного множества. Предлагаемый подход позволяет связать теоретико-множественное построение расширений циклически упорядоченного множества с его топологизацией. Для линейно упорядоченных множеств верны аналогичные результаты. Отличие состоит в том, что в линейно упорядоченном множестве щели делятся на внутренние и внешние, тогда как в циклически упорядоченном множестве все щели можно считать внутренними. 7. Доказано, что для метрического компакта $X$ и для любого неотрицательного числа $b$, не превосходящего нижней емкостной размерности $X$, существует максимальная сцепленная система из $\lambda X$ с нижней размерностью квантования, равной $b$, и с носителем $X$. Также существует максимальная сцепленная система из $\lambda X$ с носителем $X$, нижняя и верхняя размерности квантования которой совпадают с нижней и верхней емкостной размерностями $X$ соответственно. 8. Изучено расстояние Громова--Хаусдорфа между пространствами $X_{\lambda,p,\alpha}$. Для $\lambda>0$, $p>1$, $\alpha>0$ рассмотрено множество (пространство) $X_{\lambda,p,\alpha} = \{x = \lambda p^{n^{\alpha}}\in R|n\in N\} \cup \{0\}$. Коэффициент $\lambda$ соответствует «подобию». Показано, что расстояние между такими различными пространствами всегда бесконечно. Исключение составляет случай геометрической прогрессии $\alpha=1$, $\lambda =p^k$, $k\in Z$. Рассмотрен случай общей метрики на пространстве $X_{\lambda, p, \alpha}$, в которой из прямой берутся только расстояния но нулевой точки. 9. Изучены группы с максимальными групповыми топологиями, а также связи свойств топологических групп со свойствами фильтров окрестностей единицы в этих группах. Получены новые результаты о максимальных и неразложимых топологических группах (в классическом смысле). 10. Доказано, что в однородном линейно упорядоченном пространстве (1) характер любого компакта не превосходит $\omega_1$; (2) если в пространстве есть компакт несчетного характера, то характер всего пространства равен $\omega_1$. 11. Исследована структура нульмерных компактных линейно упорядоченных пространств. Доказаны следующие теоремы: Теорема 1. Если $\tau$ --- регулярный кардинал, компактное линейно упорядоченное пространство $X$ вкладывается в нульмерное компактное линейно упорядоченное пространство $2^\tau$ (с лексикографическим порядком) и характер $X$ равен $\tau$ в каждой точке, то $X$ порядково изоморфно $2^\tau$. Теорема 2. Пусть $\tau$ --- регулярный кардинал. Тогда два отрезка без изолированных точек $[a,b]$ и $[c,d]$ в линейно упорядоченном пространстве $2^\tau$ порядково изоморфны, если и только если $\chi(a,[a,b])=\chi(c,[c,d])$ и $\chi(b,[a,b])=\chi(d,[c,d])$. С помощью этих теорем построено счетно компактное однородное линейно упорядоченное пространство $2^{\omega_1}$, которое содержит компакт $\omega_1+1$ несчетного характера. Кроме того, доказано, что линейно упорядоченное пространство $2^{\omega_1}$ нельзя вложить в однородное линейно упорядоченное пространство, однако существует компактное линейно упорядоченное пространство, которое непрерывно отображается на линейно упорядоченное пространство $2^{\omega_1}$ и которое вкладывается в $\sigma$-компактное однородное линейно упорядоченное пространство. 12. Доказана теорема о метризуемости паракомпактного $p$-пространства $X$ с наследственно паранормальным пространством $F(X)$ для нормального функтора $F$ степени $\ge3$. Введено понятие полунормального функтора в категории паракомпактных $p$-пространств и их совершенных отображений и получена с помощью нового понятия теорема, являющаяся дальнейшим обобщением ряда известных ранее результатов. 13. Рассмотрены группы с топологией, которые вкладываются в линейно упорядоченные пространства (т.е. являются так называемыми GO пространствами). Доказаны теоремы: Теорема 1. Всякая полутопологическая GO группа наследственно паракомпактна, и все ее компактные подпространства метризуемы. Теорема 2. Если полутопологическая GO группа не является $P$-пространством, то она является субметризуемым пространством с первой аксиомой счетности. Теорема 3. Если полутопологическая GO группа является топологической группой или линейно упорядоченным пространством и притом не является $P$-пространством, то она метризуема. 14. Исследованы компактификации пространств вероятностных мер. Доказано, что $\beta(P(X))=P(\beta X)$, если и только если $P(X)$ --- псевдокомпактное пространство; здесь $\beta X$ обозначает максимальную (стоун-чеховскую) компактификацию пространства $X$ и $P(X)$ --- пространство вероятностных мер на $X$. Кроме того, построено такое пространство Мрувки $X$ (множество изолированных точек счетно и плотно в $X$, множество неизолированных точек дискретно), что его стоун-чеховский нарост состоит из одной точки и пространство вероятностных мер не псевдокомпактно.
5 1 января 2028 г.-31 декабря 2028 г. Общая теория топологических пространств, размерности и топологических операций и ее приложения к функциональному анализу и топологической алгебре. 2025
Результаты этапа:

Прикрепленные к НИР результаты

Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".