ИСТИНА

Целью проекта является исследование нестационарных динамических процессов в деформируемых твердых телах с учетом влияния наследственных свойств материала.

Materials exhibiting hereditary properties are widely used in construction, aerospace industry, mechanical engineering, and are also objects of study in geophysics, seismology, biology, medicine and other fields. Moreover, composites with uniform viscoelastic components, as well as functionally gradient materials, are finding more and more applications. During operation, or in emergency situations, structures made of such materials can undergo various kinds of dynamic influences, including non-stationary ones. This confirms the relevance and high level of significance of the subject matter of this project, the purpose of which is to study non-stationary dynamic processes in deformable solids, taking into account the influence of hereditary properties of the material. One of the important directions within the framework of this general topic is the study of transient wave processes in viscoelastic bodies using analytical and numerical-analytical methods for solving the corresponding non-stationary dynamic problems. Such studies have not only independent value in studying the dynamic behavior of the mentioned above structures. Their results can be used to test numerical methods and application software packages, and the corresponding solutions can be included as an integral part in computer systems, or used to solve problems associated with dynamic stability, destruction, optimization, etc. In this project, it is planned to study the unsteady dynamics of deformable solids, the hereditary properties of the material of which are described by the determining relations of linear viscoelasticity in the framework of the Boltzmann-Volterra model at small strains. Research will be carried out by constructing new solutions to the corresponding initial-boundary value problems for homogeneous and piecewise-homogeneous bodies. The construction of solutions will be carried out mainly by applying the Laplace integral transform over time to the initial problems with the subsequent finding of the originals. The scientific novelty of the expected results is as follows. Effective methods for converting Laplace transformants into the space of originals for problems of the type under consideration will be developed and theoretically substantiated, which will allow mathematical modeling of dynamic processes in an arbitrary range of time changes for hereditary kernels of a wide class without the assumption that the viscosity of the material is small. For the special case when the Poisson's ratio of the material does not depend on time, a modification of the methods for constructing solutions of dynamic problems of linear viscoelasticity will be theoretically justified. The developed methods will be used to construct new solutions to non-stationary dynamic problems for homogeneous and piecewise homogeneous linear viscoelastic bodies with hereditary kernels of various types. To study the influence of the hereditary properties of the material on transient wave processes (carrying out parametric analysis), an author's approach will be developed, offering the use of original relationships establishing correspondence between hereditary kernels belonging to different classes of functions, but manifesting themselves in non-stationary dynamic problems in a similar way. It is supposed to establish which parameters characterizing the hereditary properties of the material most significantly affect the transient wave and vibrational processes in viscoelastic bodies. For homogeneous and piecewise homogeneous bodies, the influence of material properties on wave processes in a wide range of changes in physic mechanical parameters will be studied. The original method developed by the authors of the project will be developed for studying unsteady waves in elastic and linearly viscoelastic bodies consisting of a material with a continuous dependence of physical and mechanical parameters on spatial coordinates (functionally gradient material). Using this method, it is supposed to study unsteady wave processes in structures made of functionally gradient materials with different patterns of heterogeneity. The scientific significance of the expected fundamental research results is that they will contribute to the further development of integral transformation methods in the dynamic theory of viscoelasticity for homogeneous and piecewise homogeneous bodies, as well as the development of the theory of wave propagation in bodies made of functionally gradient materials. The alleged results will lead to new knowledge about transient wave processes in deformable solids, both homogeneous and inhomogeneous, whose material exhibits hereditary properties. Moreover, the developed research methods will further expand and deepen this knowledge.

В результате выполнения проекта будут разработаны и математически обоснованы аналитические и численно-аналитические методы построения решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости в отсутствии предположения о малости вязкости и в широком диапазоне изменения времени. В основе этих методов лежит общеизвестная процедура – применение к исходной задаче интегрального преобразования Лапласа по времени, а суть их – в способе осуществления операции обращения трансформант. Для частного случая, когда коэффициент Пуассона материала не зависит от времени, будут предложены модификации этих методов. Разработанные методы будут применены для построения решений нестационарных динамических задач для однородных и кусочно-однородных линейно-вязкоупругих тел при наследственных ядрах различных типов. На основе построенных решений будут проведены исследования переходных волновых процессов в линейно-вязкоупругих однородных и кусочно-однородных телах и изучено влияние на эти процессы параметров, характеризующих наследственные свойства материала. Будет развит авторский подход, предлагающий использовать соотношения, устанавливающие соответствие между наследственными ядрами, принадлежащими разным классам функций, но влияющими на динамические процессы схожим образом. Получит развитие разрабатываемый авторами проекта оригинальный метод исследования нестационарных волновых процессов в упругих и линейно-вязкоупругих телах, состоящих из функционально-градиентного материала. С помощью этого метода предполагается исследовать нестационарные волновые процессы в конструкциях из функционально-градиентных материалов с различным характером неоднородности. Для обеспечения достоверности ожидаемых результатов часть из них будет сопоставляться с уже известными, а также с теми, которые удастся получить другими методами. На 2021 год: 1. Исследование общих свойств Лапласовых трансформант для нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости в случае однородных тел. Математическое обоснование всех этапов построения оригиналов. 2. Разработка методов построения решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости для однородных тел и их модификация для случая, когда коэффициент Пуассона материала не зависит от времени. 3. Разработка методов построения решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости для кусочно-однородных тел. 4. Исследование тестовых задач с целью пробации разработанных методов. Сравнение решений с уже известными, а также с теми, которые удастся получить другими методами. 5. Представление различных форм соотношений, устанавливающих соответствие между наследственными ядрами, принадлежащими разным классам функций, но влияющими на динамические процессы схожим образом. На 2022 год: 1. Применение разработанных методов для построения новых решений нестационарных динамических задач для однородных и кусочно-однородных линейно-вязкоупругих тел при наследственных ядрах различных типов. 2. На основе построенных решений проведение исследований переходных волновых процессов в линейно-вязкоупругих однородных и кусочно-однородных телах и изучение влияния на эти процессы параметров, характеризующих наследственные свойства материала. 3. Развитие метода исследования нестационарных волновых процессов в упругих и линейно-вязкоупругих телах, состоящих из функционально-градиентного материала. 4. Исследование нестационарных волновых процессов в конструкциях из функционально-градиентных материалов с различным характером неоднородности. 5. Анализ результатов исследования влияния наследственных свойств материалов на волновые процессы в однородных и неоднородных твердых деформируемых телах.

Членами коллектива российских участников получены следующие результаты, являющиеся основой для успешного выполнения данного проекта. 1. Проведены предварительные исследования, касающиеся строгого математического обоснования метода обращения Лапласовых трансформант решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости. Установлена связь между особыми точками изображения и множеством собственных значений задачи о свободных колебаниях линейно-вязкоупругих тела в случае конечной области распространения возмущений. 2. Рассмотрен один из вариантов соотношений, устанавливающих соответствие между наследственными ядрами, принадлежащими разным классам функций, но влияющими на динамические процессы схожим образом. 3. Получены решения некоторых нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости для однородных тел, а также для кусочно-однородных линейно-вязкоупругих тел цилиндрической формы. 4. Предложен метод исследования нестационарных волновых процессов в упругих и линейно-вязкоупругих телах с непрерывной зависимостью свойств материала от пространственных координат на основе решений соответствующих динамических задач для кусочно-однородных тел с большим количеством однородных составляющих. 5. Исследовано влияние наследственных свойств материала на переходные волновые процессы в вязкоупругих цилиндрических оболочках. Кроме этого, успешной реализации проекта способствует большой опыт участников коллектива в проведении исследований динамических задач с учетом анизотропии и неоднородности материала, а также при наличии у него демпфирующих свойств, проявляющихся в силу разных причин. В качестве таких причин рассматривались как вязкоупругие свойства материала, так и взаимосвязанность полей различной физической природы (нестационарные связанные задачи термоупругости, механодиффузии и др.).

В результате выполнения проекта будут разработаны и математически обоснованы аналитические и численно-аналитические методы построения решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости в отсутствии предположения о малости вязкости и в широком диапазоне изменения времени. В основе этих методов лежит общеизвестная процедура – применение к исходной задаче интегрального преобразования Лапласа по времени, а суть их – в способе осуществления операции обращения трансформант. Для частного случая, когда коэффициент Пуассона материала не зависит от времени, будут предложены модификации этих методов. Разработанные методы будут применены для построения решений нестационарных динамических задач для однородных и кусочно-однородных линейно-вязкоупругих тел при наследственных ядрах различных типов. На основе построенных решений будут проведены исследования переходных волновых процессов в линейно-вязкоупругих однородных и кусочно-однородных телах и изучено влияние на эти процессы параметров, характеризующих наследственные свойства материала. Будет развит авторский подход, предлагающий использовать соотношения, устанавливающие соответствие между наследственными ядрами, принадлежащими разным классам функций, но влияющими на динамические процессы схожим образом. Получит развитие разрабатываемый авторами проекта оригинальный метод исследования нестационарных волновых процессов в упругих и линейно-вязкоупругих телах, состоящих из функционально-градиентного материала. С помощью этого метода предполагается исследовать нестационарные волновые процессы в конструкциях из функционально-градиентных материалов с различным характером неоднородности. Для обеспечения достоверности ожидаемых результатов часть из них будет сопоставляться с уже известными, а также с теми, которые удастся получить другими методами.