ИСТИНА

К основным целям проекта можно отнести следующее: - Исследование новых приложений классической леммы о диаманте для решения алгебраических и топологических задач, в частности, для построения инвариантов классических и виртуальных узлов, трехменых многообразий и узлов в трехмерных многообразиях. - Изучение групп G_n^k и \Gamma_n^k, введенных для изучения топологических инвариантов динамических систем, в частности, проблем тождества и проблем сопряженности в этих группах. - Изучение пространств триангуляций для различных двумерных и трехмерных многообразий, в частности, многообразий триангуляций и фундаментальных групп этих многообразий, а также групп кос многообразий произвольной размерности, введенных В.О. Мантуровым и И.М. Никоновым. - Изучение дальнейших инвариантов многомерных многообразий посредством изучений пространств модулей подмногообразий и отображений фундаментальных групп этих пространств модулей в соответствующие группы G_{n}^{k} и \Gamma_{n}^{k}. В частности, исследование многообразий Грассмана. - Развитие теории четности и ее обобщений для построения и усиления инвариантов узлов и зацеплений. В частности, поиск и исследование нетривиальных индексов на перекрестках классических узлов, родственных объектам теории четности, изучение полумеандрических (двухцветных) диаграмм узлов. - Исследование инвариантов трехмерных многообразий, в первую очередь - рода Хегора. Поиск оценок сверху на род Хегора в некоторых специальных случаях (в частности, в случае разветвленного накрытия 3-сферы с ветвлением над узлом определенного вида).

Теория узлов и маломерная топология активно развиваются. Последние десятилетия были отмечены бурными всплесками, связанными с новыми идеями, имеющими топологическое, алгебраическое, комбинаторное, геометрическое и физическое происхождение. Развитие состояло как в появлении новых мощных инвариантов, позволяющих решать старые задачи, так и в появлении новых областей исследования. В частности, гомологии Хованова позволили распознать тривиальный узел. Однако почти все инварианты принимают значения в «простых» объектах, далеких от «геометрии» и «диаграмм» исходных, поэтому об их геометрических свойствах можно судить лишь косвенным образом. В комбинаторной теории групп и некоторых задачах маломерной топологии популярна теория корней (в теории групп ее аналог носит название леммы о диаманте) – минимальных представителей, определенных однозначно при некоторых условиях, благодаря чему становится возможным решать разные классификационные проблемы (тождества, сопряженности и т.д.). В случае классических узлов такого рода «корни», «минимальные диаграммы», как правило, тривиальны. В случае виртуальных узлов разработанная В.О. Мантуровым теория четностей позволяет строить инварианты со значениями в диаграммах (конечных геометрических объектах) явно, что дает возможность реализовывать принцип: если диаграмма сложна, то она встречается в качестве поддиаграммы в любой диаграмме, эквивалентной ей. Обобщением теории четности можно считать теорию хордовых индексов. Открытые ранее инварианты виртуальных узлов приобрели крайнюю актуальность. Инварианты строятся методами теории четностей, накрывающих отображений и алгебраическими методами. Важное место занимает активно развивающуюся теория групп G_n^k, имеющих много эпиморфизмов на свободные произведения циклических групп, что позволяет строить мощные легко сравниваемые инварианты кос и их обобщений. Данный проект направлен на решение актуальных задач маломерной топологии и комбинаторной теории групп, с использованием новых подходов и методов, разработанных участниками проекта.

- Развитие теорий четности и индексов. Построение скобочных инвариантов и инвариантов со значениями в диаграммах маломерных геометрических объектов (узлов, кос, многообразий малой размерности). - Развитие алгебраических и комбинаторных методов исследования геометрических и топлогических объектов (приложения леммы о диаманте, техника диаграмм ван Кампена и Хауи), использование инвариантов топологических объектов со значениями в группах, решение проблем тождества и сопряженности в полученных группах. - Исследование многообразий триангуляций, соответствующих различным многообразием малой размерности. Построение кос для соответствующих многообразий, вычисление их инвариантов и установление связи с динамическими системами движения точек по различным конфигурационным многообразиям. - Построение структуры симплициальной группы на обобщениях группы кос. - Доказательство единственности разложения на примарные слагаемые для обобщений узлов в многообразиях. - Изучение многообразий Грассмана с помощью групп G_n^k.

В.О. Мантуровым была создана теория четности. Эта теория и ее обобщения позволила построить новые мощные инварианты виртуальных узлов, усилить существующие инварианты. Была получена почти классификация свободных узлов, опровергнута гипотеза Тураева о тривиальности свободных узлов. Одно приложений этой теории - построение инвариантов со значениями в диаграммах. Доказано, что нечетная несократимая диаграмма узла является его инвариантом. Лемма о диаманте - важное утверждение, являющееся мощным инструментом получения результатов о существовании и единственности разложений различных топологических объектов на примарные слагаемые. Приложения леммы о диаманте и теории корней к задачам маломерной топологии развиваются С.В. Матвеевым. Доказаны тоермы единственности разложения на примарные компоненты. Одним и ярких обобщений и направлений развития теории четности является теория хордовых индексов, развиваемая А.Ю. Весниным и китайскими коллегами. Она позволяет получать новые инварианты со значениями в диаграммах, расширяя при этом спектр объектов, на которых соответствующие структуры (четность, индексы) нетривиальны. Д.П. Ильютко с коллегами изучает новое представление узла через полумеандрические диаграммы. Этот подход плодотворен, поскольку позволяет по-новому сформулировать задачи классификации и распознавания узлов и использовать новые методы в их решении. Исследование динамических систем на многообразиях тесно связано с понятием кос для произвольных многообразий и с триангуляциями многообразий. Участниками проекта получены результаты об отображении соответствующих объектов в группы специального вида. Как следствие, получены эффективно вычислимые и легко сравнимые инварианты. Исследование этих групп методами геометрической теории групп показало, что в некоторых из них может быть алгоритмически разрешена проблема тождества и сопряженности.