ИСТИНА |
Войти в систему Регистрация |
|
ИСТИНА ЦЭМИ РАН |
||
К непосредственным целям и задачам настоящего проекта относится следующее: - построение инвариантов (квантовых инвариантов) узлов со значениями в картинках, то есть диаграммах, графах и иных графических конструкциях на плоскости или других поверхностях. Подобные инварианты не только являются мощным средством решения задач об эквивалентности узлов, но и позволяют формулировать и доказывать важные теоремы минимальности, примером которых может служить утверждение, доказанное В.О. Мантуровым для виртуальных узлов: «если диаграмма узла достаточно сложна, она воспроизводит себя в любой эквивалентной диаграмме». - построение инвариантов узлов с использованием отображений кос в группы G_n^k и \Gamma_n^k. Всякий узел есть замыкание некоторой косы (теоремы Маркова для одномерных узлов, теорема Камады для двумерных узлов). Таким образом, естественным и плодотворным подходом оказывается построение инвариантов узлов при помощи конструкций на косах. С другой стороны, косы (в частности, косы для многообразий) оказываются тесно связаны с группами G_n^k и \Gamma_n^k, которые недавно были определены и активно изучаются. В частности, обнаружены различные отображения групп кос в эти группы, что позволяет применять алгебраические методы и свойства групп G_n^k и \Gamma_n^k для построения инвариантов узлов. - построение инвариантов двумерных узлов на основе диаграмматического подхода с использованием меченых графов, усиленного методом четности и методом замены коэффициентов на метки. Существуют различные подходы к описанию двумерных узлов при помощи одномерных диаграмм. Одним из них является метод меченых графов Йошикавы. В настоящем проекте предполагается использовать графы Йошикавы с дополнительной информацией, происходящей из аксиом теории четности, для построения мощных инвариантов двумерных узлов. Вторым направлением является усиление полиномиальных инвариантов, получаемых из меченых графов, при помощи замены коэффициентов на метки, содержащие больше информации о рассматриваемом узле. - всесторонне изучение многообразий триангуляций и кос на многомерных многообразиях. Триангуляции многообразий являются известным объектом изучения. Однако, ранее они рассматривались лишь с «комбинаторной» точки зрения. В настоящем проекте предполагается инициировать изучение множества триангуляций как многообразия. Такой подход естественным образом приводит к понятию косы на произвольном многообразии, что открывает широкие возможности для изучения динамических систем на многообразиях, а так же рассматриваемых многообразий как таковых.
Построение новых инвариантов зацеплений с помощью биквандлов и нахождение их применения к изучению свойств зацеплений. Обобщение результатов Йошикавы на случай погруженных узлов. Построение новых инвариантов двумерных узлов и зацеплений. Изучение кос, в частности, исследование алгебраических свойств групп кос маломерных многообразий. Построение инвариантов классических узлов со значениями в картинках. Мы ожидаем, что полученные результаты не только усилят классические результаты теории узлов, но и позволят обнаружить свойства изучаемых объектов неизвестные до настоящего времени. Например, инвариант со значениями в картинках мгновенно позволит сформулировать теоремы минимальности. Новые результаты в теории кос повлекут новые результаты и в теории групп. Результаты в теории двумерных узлов будут способствовать лучшему пониманию многомерных узлов.
Российские участники проекта имеют существенный научный задел по тематике проекта. Можно выделить следующие направления. 1. Построены функториальные отображения между разными теориями узлов. Данные отоборажения позволяют поднимать инварианты из одной теории в другую. 2. Построены инварианты виртуальных узлов со значениями в картинках. С помощью таких инвариантов, например, доказаны теоремы минимальности. 3. Получен ряд результатов по группам G^n_k. Для некоторых значений n и k решена проблема тождества слов. Данные группы позволяют строить инварианты кос. 4. Одним подходом к исследованию двумерных зацеплений является инвариант со значением в меченой алгебре Конвея, построенная С. Ким совместно с корейскими участниками (С. Цой и Й. Бэ). Этот подход может быть усилен с помощью есть оснащения двойных линий диаграммы двумерных зацепленный таким, как алгебра Конвея была обобщена с помощью есть оснащения перекрестков «чистый/смешанный».
грант РФФИ |
# | Сроки | Название |
1 | 13 января 2020 г.-1 марта 2021 г. | Инварианты зацеплений в трехмерном и четырехмерном пространствах |
Результаты этапа: |
Для прикрепления результата сначала выберете тип результата (статьи, книги, ...). После чего введите несколько символов в поле поиска прикрепляемого результата, затем выберете один из предложенных и нажмите кнопку "Добавить".