ИСТИНА

Целью является исследование групп (как дискретных, в первую очередь, фундаментальных групп многообразий, так и непрерывных, в частности, структурных, калибровочных, автоморфизмов и т.д.) и их действий с помощью топологических (в первую очередь, связанных с топологическими свойствами пространства и действия) и аналитических (в первую очередь, связанных с конструкциями, использующими групповые C*-алгебры, скрещенные произведения и т.п.) методов. При этом планируется продвинуться в решении следующих, тесно связанных между собой, задач: 1) Исследование геометрических и аналитических инвариантов и структур, связанных с группой (систолический объем, сложность, действия на компактах и накрытиях, групповые С*- и $l_1$-алгебры). 2) Изучение более общих структур, связанных с группами, (свойства классов скрученной сопряженности по автоморфизму, действия расслоений групп, проективные действия, скручивания в К-теории) как с целью получения информации о группах, так и с точки зрения приложений. 3) Развитие геометрических, топологических и аналитических методов, применяемых в данной области (различные типы К-теории, теория С*-алгебр и модулей над ними, операторных пространств, условных ожиданий на алгебрах).

Предполагается найти неравенства, связывающие систолическую площадь $\sigma(G)$ и симплициальную сложность $\kappa(G)$ группы $G$. Предполагается оценочно установить поведение сложности абелевых групп в зависимости от числа образующих и числа инвариантных множителей. Предполагается найти минимально возможную сложность конечнопредставимых групп, а также изучить строение групп малой сложности. Планируется установить, является ли группа $<a,b|b^{b^a}=b^2>$ MF-группой. Доказательство теоремы типа Кюйпера для общих изоморфизмов стандартного гильбертова модуля над коммутативными унитальными С*-алгебрами. Обозначим через $\otimes_{pl}$ тензорное произведения прото-ламбертовых пространств, через $\otimes_{l}$ - тензорное произведение ламбертовых пространств. Пусть $|.|_{pl}$ и $|.|_l$ - соответствующие (прото)ламбертовы нормы. Планируется доказать следующие три утверждения: Пусть $(X,\mu)$ - измеримое пространство, $E$ - прото-ламбертово пространство. Тогда, с точностью до ламбертова изометрического изоморфизма, $L_1(X)\otimes_{pl}E=L_1(X,E)$. (Последнее пространство рассматривается со стандартной прото-ламбертовой нормой). Пусть $H,K$ - гильбертовы пространства, наделенные минимальной ламбертовой нормой. Тогда, с точностью до ламбертова изометрического изоморфизма, $H\widehat\otimes_l K=H\otimes K$, где последнее гильбертово пространство также наделено минимальной ламбертовой нормой. Существует элемент $V$ в размножении алгебраического тензорного произведения некоторых ламбертовых пространств, для которого $|V|_{pl}=n$, и в то же время $|V|_l=\sqrt{n}$. Доказательство того, что категория гомотопических снопов расслоений (при подходящем определении отношения эквивалентности) является 2-группоидом с выделенным объектом (классом тривиальных скручиваний).

Доказано, что функция систолического объема всегда растет медленнее, чем линейно по $k$. Доказана теорема об индексе для эквивариантных эллиптических операторов с коэффициентами в комплексной C*-алгебре с единицей, учитывающая элементы конечного порядка, она применена к исследованию индекса семейств и кривизны неодносвязных спинорных многообразий. Следующим шагом явилось доказательство «дважды» эквивариантной теоремы об индексе для C*-алгебр, когда компактная группа $G$ действует как на пространствах, так и на коэффициентной C*-алгебре. В качестве приложения получено простое доказательство теоремы об индексе для эквивариантных семейств в важнейшем частном случае. Определен аналитический индекс калибровочно-инвариантных эллиптических семейств, исследована структура соответствующих групп калибровочно-эквивариантной (крученой) K-теории. Доказана теорема об изоморфизме Тома и об индексе в этой К-теории, определен топологический индекс, развита соответствующая аксиоматика. Была получена характеризация не обязательно локально-тривиальных накрытий $Y\to X$ (открыто-замкнутых отображений компактов с равномерно ограниченным числом прообразов) в форме условия существования условного ожидания конечного индекса для соответствующих алгебрах функций $E:C(Y)\to C(X)$. Совсем недавно французскими математиками этот результат (в одном направлении) был обобщен на случай, когда одна из алгебр является некоммутативной. Была доказана КТБФ для дискретных конечнопорожденных групп типа I, важных примеров групп не типа I, а также слабая скрученная теорема Бернсайда. В ряде случаев получено описание классов Райдемайстера дискретной группы Гейзенберга и некоторых сплетений. Доказана бесконечность числа Райдемайстера любого автоморфизма для большого класса групп, действующих на деревьях, включая группы Григорчука и Гупта-Сидки. Доказана теорема типа Бернсайда-Фробениуса для почти полициклических групп.