ИСТИНА

Аннотация Проект предусматривает исследование и математическое моделирование механических свойств деформируемых тел и неоднородных (гетерогенных) структур со сложными внутренними взаимодействиями в различных условиях формоизменения и функционирования, включая экстремальные режимы с конечными деформациями. Первой основной проблемой проекта является построение новых семейств определяющих соотношений неупругих (пластических, вязкоупругих) сред при конечных деформациях. Задача исследования свойств упругопластических тел предусматривает анализ и методику обработки данных экспериментов со сплошными цилиндрическими образцами при больших степенях деформаций (порядка 700%), построение моделей изотермической пластичности, а также моделей термопластичности (с заданным температурным воздействием). Задача исследования свойств вязкоупругости предусматривает построение физически и геометрически нелинейных моделей вязкоупругих тел; использование методов нелинейной эндохронной теории стареющих вязкоупругих материалов позволит построить модели конечных деформаций тел с существенно неоднородной (гетерогенной) структурой, таких, как высоконаполненные полимеры, в которых доля включений составляет до 80% объема. В обеих задачах предполагается применение апробированного в предыдущих работах членов коллектива нового метода, основанного на использовании континуальных множеств объективных производных и обобщенных тензорных мер напряжений и конечных деформаций. Второй проблемой является построение и исследование моделей неоднородных (гетерогенных) сред и систем при произвольных движениях (деформациях). Одна из задач проекта направлена на построение моделей пористой насыщенной среды с произвольными конечными деформациями нелинейно упругого и неупругого каркаса и произвольными скоростями течения жидкой фазы. Предполагается использование предложенной ранее членами группы общей модели многофазных жидкогазонаполненных пористых сред, впервые предусматривающей явный учет межфазных силовых взаимодействий (интерактивных сил) разных типов. Другая задача проекта предусматривает построение новых моделей одномерного континуума с микроструктурой типа Коссера (оснащенного стержня) как с упругими, так и с частично или полностью неупругими (пластическими, вязкоупругими) свойствами, изучение движений и форм равновесия таких систем.

The project aims the research and mathematical modeling of mechanical properties of deformable solids and inhomogeneous (heterogeneous) structures with complicated internal interactions under different conditions of formation and functioning including extremal regimes at finite strains. The first main problem of the project is constructing new families of constitutive relations for inelastic (plastic, viscoelastic) media at finite strains. The investigation of elastic-plastic bodies properties provides analysis and methods of handling of experimental data with solid cylinder specimens at high level strains (up to 700%), constructing isothermal plasticity models as well as models of thermo-plasticity (with given temperature). The investigation of viscoelasticity properties assumes the construction of physically and geometrically nonlinear models of viscoelastic bodies; methods of nonlinear endochronic theory of aging viscoelastic materials may permit to construct finite strains models for bodies with essentially inhomogeneous (heterogeneous) structure, such as highly saturated polymers with volume grade of inclusions up to 80%. Both problems assume the using of the new method, approved in the previous works of the team members, based on application the continual sets of objective derivatives and generalized tensor strain and stress measures. The second problem is the constructing and investigation of models of inhomogeneous (heterogeneous) media and systems at arbitrary motions (deformations). One of the problems is directed to construction of models of a saturated porous medium with arbitrary finite strains of a nonlinear elastic and inelastic skeleton and arbitrary velocities of a fluid flow. It is assumed to use the general model of multiphase fluid-gas-saturated porous medium, previously suggested by team members, which provides for the first time the explicit accounting of interphase force interactions (interactive forces) of different types. The other problem of the project aims the constructing new models of one-dimensional continuum of Cosserat type microstructure (equipped beam) with elastic as well as partly or totally inelastic (plastic, viscoelastic) properties, the study of motions and forms of equilibrium of such systems.

1. Построение новых видов определяющих соотношений упругопластических материалов при конечных деформациях, включая модели термопластичности, с использованием новых классов тензорных мер напряжений и деформаций. Разработка подходов к описанию пластичности при больших деформациях на основе экспериментов со сплошными цилиндрическими образцами. Проведение численных экспериментов с моделями типичных образцов. Разработка основ теории определяющих экспериментов. Разработка подходов к аналитическому и численному решению конкретных задач. 2. Создание и идентификация математических моделей вязкоупругих материалов, включая наполненные полимерные материалы, поврежденные материалы, адекватно описывающих их поведение на различных этапах эксплуатации конструкций, в частности при больших деформациях и временах, предшествующих разрушению. Использование полученных определяющих соотношений для описания результатов имеющихся экспериментов. Представление соотношений в виде, удобном для численного решения задач. 3. Разработка новых моделей наполненных пористых сред с произвольными конечными деформациями нелинейно упругого и неупругого каркаса и произвольными скоростями течения жидкой фазы с учетом различных видов интерактивных сил. Постановки задач, разработка аналитических и численных методов решения. Решение типичных задач о течении жидкости сквозь пористые деформируемые слои. Анализ влияния характеристик пористой среды и видов интерактивных сил на характер течения жидкости и деформации каркаса. 4. Построение дискретных моделей одномерного континуума Коссера с частично или полностью неупругими свойствами различных типов, вывод уравнений движения и построение определяющих соотношений для ячейки с последующей континуализацией полученных уравнений. Исследование пространственных форм равновесия и мод колебательных движений континуальных моделей. Рекомендации к использованию полученных моделей для описания свойств природных систем и промышленных конструкций.

Для семейств моделей гипоупругих и упругопластических тел при конечных деформациях было построено и использовано подсемейство коротационных мер напряжений и деформаций (и соответствующих объективных коротационных производных), для тел с памятью формы -- семейство голономных тензорных мер. Предложен подход к обобщению теории упругопластических процессов на случай конечных деформаций, основанный на использовании двух разных тензоров конечных деформаций для построения на базе полярного репера образа процесса нагружения, расщепленного на скалярную и векторную части. Рассмотрены задачи о толстостенной трубе из упругосжимаемого упругопластического материала при совместном действии внутреннего и внешнего давления, о двухосном растяжении пространства при различном соотношении растягивающих усилий, о двухосном растяжении пространства с цилиндрической полостью (задача Л.А.Галина). Авторы заявки имеют опыт построения моделей гиповязкоупругих тел при конечных деформациях, основанный на использовании разных типов объективных производных. . Разработан численно-графический метод определения характеристик поврежденности и описания ползучести поврежденных высоконаполненных полимерных материалов. Разработаны подходы к построению моделей многофазных наполненных пористых сред. Для модели двухфазной жидконаполненной пористой среды проведен анализ структуры интерактивных взаимодействий, выделены силы фронтального напора (лобового сопротивления), вязкого сопротивления типа Дарси и инерционного сопротивления типа Био, указаны случаи их необходимого учета при разных режимах протекания жидкости. Построена модель оснащенного стержня типа Коссера с упругими свойствами. Отработана методика вывода основных уравнений, подходы к осреднению, проведена линеаризация уравнений при малых движениях, изучены частоты и характер колебательных режимов, обнаружено явление неустойчивости вынужденных колебаний, проведены расчѐты для упругой конструкции антенного типа.

1. Представлена теория объективных тензоров механики сплошной среды, построены диаграммы, связывающие родственные объективные тензорные характеристики одного ранга и разных типов, отвечающие разным способам описания тензорных процессов, включая разных типов тензоры конечных деформаций и напряжений. Дано определение отображений объективных тензорных процессов, не зависящих от системы отсчета, выражающих основное свойство определяющих соотношений сред. Установлена теорема о необходимых и достаточных условиях независимости отображений от системы отсчета, накладывающая определенные ограничения на математические свойства этих отображений сообразно типам объективности связываемых ими тензоров. Приведены простые примеры таких отображений и соответствующих им определяющих соотношений сред. Из множества не зависящих от системы отсчета отображений объективных тензоров выделены дифференциальные операторы по времени, охватывающие и обобщающие все известные виды объективных производных. Представленный материал отражен в публикациях Г.Л.Бровко. 1.1. Для построения определяющих соотношений деформируемой среды при больших деформациях использован подход, при котором классические модели для малых деформаций обобщаются на большие деформации: в терминах тензоров деформаций и напряжений материального типа объективности с помощью материальных производных, а в терминах тензоров пространственного типа — с помощью объективных производных. Использовалось семейство коротационных объективных производных, предложенное А.С.Финошкиной. Производные этого семейства характеризуются двумя параметрами. Влияние температуры на процесс конечной деформации предложено учитывать не только с помощью зависимости от температуры физических параметров модели (предполагается, что она такая же, как и при малых деформациях), но и от параметров, входящих в производную. На примере задачи о простом сдвиге для обобщенных на конечные деформации моделей — модели гипоупругости и модели Максвелла — показано существенное влияние такой зависимости параметров производной из указанного семейства на поведение моделей. В случае гипоупругости получено решение задачи о кручении и растяжении плоского слоя, моделирующее эксперимент на растяжение и кручение сплошного цилиндрического образца. Представленный материал отражен в публикациях З.Г.Тунгусковой и А.С.Финошкиной. 1.2. Проведено дальнейшее развитие подхода к обобщению теории упругопластических процессов А.А.Ильюшина на случай конечных деформаций, основанного на использовании двух разных тензоров конечных деформаций для построения на базе полярного репера образа процесса нагружения, расщепленного на скалярную и векторную части. В этом подходе скалярный образ процесса нагружения строится по голономному тензору конечных деформаций Генки, векторный образ процесса нагружения – по неголономному тензору конечных деформаций Грина-Нахди, порожденному нейтральной коротационной производной. На основе проведенного анализа векторных свойств моделей гиперупругого материала, вязкой жидкости, вязкопластического материала, а также анализа экспериментальных данных по сложному нагружению полиэтилена высокого давления и по кручению сплошных цилиндрических стержней из эвтектика олова и свинца, сформулирована гипотеза скалярной вязкости – гипотеза о независимости векторных свойств от скорости деформирования. Материал отражен в публикациях А.В.Муравлева и А.С.Девятова. 1.3. Получено решение задач о простых движениях упругой и упругопластической среды при конечных деформациях для двух моделей материала. В первой модели (модели, предложенной Т.Хьюзом) определяющие соотношения теории течения с изотропным упрочнением связывают скорость изменения тензора деформации и скорость изменения тензора напряжений Кирхгофа («обобщенного» тензора Коши, т.е. тензора напряжений Коши, умноженного на скалярную величину J, равную модулю определителя аффинора деформации. Величина J равна кратности изменения элементарного объема). Во второй модели те же самые определяющие соотношения записаны для тензора Коши. Эти две модели эквивалентны только если J=1, т.е. в случае изохорического движения среды (при котором нет изменения объема), в частности, для несжимаемого материала. В рассмотренных задачах при движении среды не происходит поворота главных осей деформации. Тогда принятая в данных моделях неголономная мера деформации, порожденная производной Динса, совпадает с тензором логарифмических деформаций Генки, а производная Динса для соответствующих тензоров напряжений совпадает с их материальной производной. Рассмотрены задачи об однородном напряженном состоянии среды, решения получены аналитически. При решении задач рассмотрен случай линейного упрочнения материала, характеризующийся величиной a=E1/E, равной отношению модуля упрочнения материала E1 к модулю Юнга E. В задаче о растяжении упругопластического бруса получено, что, если величина деформации, соответствующая пределу текучести материала, порядка 0.002, и упрочнение – небольшое (a<0.01), то даже при значительных удлинениях бруса величина J очень мало отличается от 1; решения для двух указанных моделей близки. Вместе с тем можно указать задачу, для которой отличие решений по двум рассматриваемым моделям может быть существенным. Примером такой задачи является задача о трубе под действием внутреннего и внешнего давления одинаковой величины. Решение этой задачи существенно зависит от коэффициента Пуассона и мало зависит от упрочнения материала. Отличие решений задачи для двух указанных моделей материала становится заметным при логарифмической деформации, большей по абсолютной величине 0.1. Из аналитического и численного решения в ANSYS задачи о простом сдвиге гипоупругой среды установлено, что при решении упругопластических задач в пакете ANSYS в качестве объективной производной для тензора напряжений Коши использована производная Динса (Грина – Мак-Инниса—Нахди), а не производная Яуманна, как заявлено в теоретическом руководстве к ANSYS. По представленному материалу см. публикации Н.В. Овчинниковой. 2. В рамках предложенного ранее руководителем проекта метода построения ОС сплошных сред при конечных деформациях, суть которого состоит в подстановке новых пар тензорных мер напряжений и конечных деформаций в выбранные формы определяющих соотношений (в том числе в формы соотношений для малых деформаций) с учетом типов объективности новых тензорных мер, обеспечивающих корректное удовлетворение принципа материальной независимости от системы отсчета (принципа объективности), предложена модель конечных деформаций вязкоупругих материалов, являющаяся обобщением дифференциальной формы элементарной модели Максвелла. В полученной модели используются тензор истинных напряжений Коши и тензор скоростей деформаций, а производная по времени от напряжения заменена однопараметрическим семейством объективных производных Гордона—Шоуолтера. Для анализа полученного ОС проведены следующие численные эксперименты: рассмотрены задачи о простом сдвиге вязкоупругого слоя и о кручении без удлинения несжимаемого вязкоупругого цилиндра. Показано, что предложенное определяющее соотношение позволяет получить эффект Пойнтинга в указанных задачах. Анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных, полученных при кручении вязкоупругих цилиндров, показал качественное соответствие им результатов, полученных при численном моделировании. Выявлено влияние входящего в семейство объективных производных параметра на вид напряженного состояния в рассмотренных задачах. Наличие этого параметра в ОС дает дополнительные возможности для описания свойств вязкоупругих материалов при конечных деформациях, в том числе стареющих полимеров, получивших повреждения. Представленный материал отражен в публикациях Е.Д. Мартыновой и Н.С. Стеценко. 3. Получены уточненные выражения характеристик проницаемости и интерактивных сил течения жидкости при больших деформациях пористого каркаса. В рамках разработанной ранее модели сформулирована постановка и получено численное решение задачи о стационарном течении жидкости сквозь плоский слой при конечных деформациях нелинейно упругого каркаса и произвольных скоростях жидкой фазы с учетом интерактивных сил лобового сопротивления и сил вязкого сопротивления типа Дарси. Исследован подход к моделированию течений сквозь пластический пористый каркас со сменой режимов нагружения-разгрузки. Полученные результаты отражены в подготовленной к защите кандидатской диссертации И.О. Фасхеева. 4. Рассмотрены плоские формы равновесия модели одномерного континуума Коссера, построенной на основе метода механического «конструктивного» моделирования, свойства которой на растяжение, изгиб несущего стержня и взаимные повороты включений приняты упругими, а свойства в отношении моментных взаимодействий между включениями и стержнем при их взаимных поворотах имеют вид идеальной пластичности. Для этой модели проведена линеаризация уравнений движения для малых отклонений от недеформированной конфигурации. Исследованы постановки краевых задач статики. Отмечено наличие при одних и тех же условиях бесконечного множества форм равновесия, выделены случаи единственности решений, соответствующие «предельным» формам равновесия – когда момент взаимодействия системы включений и стержня принимает максимально допустимые (по модулю) значения. Рассмотрены примеры частного и общего характера. Предложена модель оснащённого стержня, составленная деформируемым массивным упругим стержнем постоянного круглого сечения (несущим стержнем) с размещёнными на его упругой линии перпендикулярно к ней через равные расстояния жёсткими массивными дисками (включениями), способными вращаться в плоскостях, перпендикулярных стержню, вокруг своих осей симметрии, жёстко закреплённых на оси стержня. Диски предполагаются связанными между собой ременными передачами, обеспечивающими упругое сопротивление относительному повороту соседних дисков. Взаимодействие дисков с элементами несущего стержня при их относительном повороте принимается носящим характер идеальной пластичности (типа сухого трения). Для задач статики о продольно-крутильных формах равновесия рассмотрены случаи наличия единственного и неединственного решений. (См. заметку О.А. Ивановой в Приложении). Материал отражен в публикациях О.А.Ивановой.